4.3.1. Зв'язані стани електронів

Згідно із загальними властивостями рівняння Шредингера ми можемо очікувати наявності двох типів розв'язків цього рівняння. А саме, при  < V_b електрони будуть зв'язаними в ямі, а при  > V_b рух електрона буде необмеженим і стани – незв'язаними. Існування ненульового розв'язку рівняння (4.34) за умови  < V_b можливе лише у випадку, якщо енергія електрона набуватиме дискретних значень. Оскільки рухи вздовж осі Oz та в протилежному напрямку є еквівалентними, то хвильова функція може мати вигляд як парних, так і непарних розв'язків. Рух електрона у площині ями характеризується ефективною масою m^* і двовимірним хвильовим вектором У результаті визначення енергетичних станів у ямі зводиться до розв'язку одновимірного рівняння Шредингера (4.34). Згідно із загальними властивостями рівняння Шредингера можна очікувати наявності двох типів розв'язків цього рівняння: за  < V_b електрони будуть зв'язані в ямі, а за  > V_b рух електрона буде необмежений і стани – незв'язаними. Оскільки потенціал при z = L/2 є розривним, для виконання умов нерозривності хвильових функцій необхідно зшити розв'язок та його похідну на межах розриву потенціалу. Крім того, розв'язок має бути обмеженою функцією за умов . За  < V_b іззовні ями розв'язок матиме вигляд

(4.35)

де Розв'язок усередині ями буде простою комбінацією плоских хвиль

, (4.36)

де A, B, C, D – константи, що визначаються з умов зшивання хвильової функції та її похідних у точках розриву потенціалу. Оскільки задача є симетричною відносно z  0, можна вибрати парну або непарну комбінацію розв'язків (4.35) і (4.36). Нехай це будуть парні розв'язки. Тоді з умови неперервності хвильової функції маємо А  В, і розв'язок матиме вигляд

(4.37)

Знаки мінус і плюс відповідають додатним і від'ємним значенням координати z. Наступним кроком є зшивання функцій та їхніх похідних у точках z   L/2. У результаті дістанемо два рівняння для визначення двох коефіцієнтів А та С

(4.38)

(4.39)

Це однорідна система двох рівнянь із двома невідомими. Для існування нетривіальних розв'язків потрібно виконання умови занулення детермінанта системи. Звідси маємо

(4.40)

Аналогічно для непарного розв'язку отримаємо умову

(4.41)

Ці рівняння можна розв'язати чисельно, але наочніше – розв'язати їх графічно. Для цього перепишемо (4.40) і (4.41) в іншому вигляді. А саме

(4.40)  ,

або

Це означає, що для мають виконуватись умови

(4.42)

де . У цьому рівнянні знак плюс вибирається для додатних значень а мінус – для від'ємних.

Аналогічно можна записати й рівняння (4.41)

для (4.43)

Тут знак плюс вибирається, якщо і мінус – якщо Ліві (L) і праві (R) частини рівнянь (4.42) і (4.43) можна подати в одному графіку як функції величини k_w. При цьому частини кривих в інтервалах

(4.44)

відповідають парним розв'язкам (тобто (4.42)), а частини кривих в інтервалах

(4.45)

– непарним розв'язкам (тобто (4.43)). Тут l  1, 2, 3, … Праві частини обох рівнянь є прямими лініями з кутовим коефіцієнтом що проходять через початок системи координат. Ліва частина рівнянь є синусом або косинусом. Ці лінії перетинаються в точках, що дають розв'язки для яких початкова задача має ненульові розв'язки. При цьому всі розв'язки розміщуватимуться у першому квадранті, оскільки додатні й від'ємні значення L і R відповідно перебувають у першому квадранті. Для аналізу цих розв'язків зазначимо, що задача характеризується двома незалежними параметрами – глибиною V_b і шириною L ями. При цьому можна змінювати один параметр, зафіксувавши інший. Змінюватимемо параметр V_b. Це автоматично означає, що іншою стане величина k₀. Таким чином, ліва частина рівнянь (4.42) і (4.43) буде незмінною, а прямі у правій частині рівнянь змінюватимуть свій нахил. Видно, що за малих значень k₀ кут нахилу прямої великий. Це означає, що може існувати лише одна точка перехрещення прямої і косинусоїди. Таким чином, маємо лише один розв'язок рівняння. Нехай він дорівнює Цьому розв'язку відповідатиме перший енергетичний рівень частинки в ямі

(4.46)

	При зростанні k0 пряма все більше нахилятиметься до осі Ox, і при перехрещенні її з наступним відрізком косинусоїди виникає новий енергетичний рівень (пряма 2 на рис. 4.7). При цьому, оскільки умовою початку перетину прямої 2 і відповідного відрізка синусоїди (l  2) є то з (4.43) маємо звідки (4.47)
Рис. 4.7. Графічний розв'язок рівнянь (4.42) та (4.43). Пряма 2 відповідає критичному значенню ko, коли другий рівень з'являється в ямі як результат розв'язку рівняння (4.43). Лінії 3 відповідають середні проміжні значення ko, що призводять до появи чотирьох енергетичних рівнів

За подальшого зростання k₀ перший і другий енергетичні рівні стають глибшими, виникає третій рівень і т. д. Дійсно, нові рівні виникають, якщо параметр

(4.48)

набуває значення цілого числа так, що кількість рівнів з енергією

. (4.49)

Таким чином, варіюючи параметри квантової ями – а саме, підбираючи компоненти структури із заданою шириною забороненої зони і задаючи товщину шару напівпровідника, – можна отримати систему,

Рис. 4.8. Кількість енергетичних станів у ямі з параметрами: а – при Vb = 224 meV, m*=0,067m; b – при Vb = 150 meV, m*=0,4m

що характеризується наперед заданою структурою енергетичних рівнів, тобто, одержати штучні матеріали. На рис. 4.8 показано кількість зв'язаних у квантовій ямі станів як функцію ширини ями для двох значень її глибини у системі AlGaAs-GaAs. Ми бачимо, що при одній і тій самій ширині ями кількість рівнів більша в тій ямі, що характеризується більшою ефективною масою носіїв. З іншого боку, у квантових ямах, із малими значеннями ефективної маси кількість рівнів фіксується в досить широкому інтервалі ям різної ширини. Цей факт є дуже корисним для технологів, оскільки невеличке варіювання ширини ями при виготовленні структур з одновимірним конфайнментом, не призведе до зміни кількості енергетичних рівнів у випадку, якщо ефективна маса носіїв є малою. Точне значення для енергій зв'язаних у ямі рівнів можна знайти для двох крайніх випадків. Перший відповідає дуже неглибокій ямі, коли існує тільки один рівень у ямі

. (4.50)

Інший випадок – коли яма є нескінченно глибокою

(4.51)

В останньому випадку відстань між рівнями зростає при збільшенні номера рівня n. Наприклад, для тонкої плівки з арсеніду галію L = 12,5 нм, де меВ, меВ, … Тобто, для квантових ям завширшки ~ 10 нм порядок характерних значень енергій рівнів, зв'язаних на ямі, становить сотні міліелектрон-вольт, що порів нянні з енергіями Фермі виродженого двовимірного електронного газу. Таким чином, на протилежність до руху електронів у об'ємному зразку напівпровідника, у системах з одновимірним конфайнментом (де рух електронів обмежений уздовж однієї осі – Oz), енергія руху електронів буде квантованою й утворюватиме підзони. Така ситуація описується формулою

, (4.52)

Рис. 4.9. Закон дисперсії електрона у квантовій ямі: а – тривимірний вигляд вкладених параболоїдів обертання; б – переріз дисперсійних поверхонь для фіксованого напрямку квазіімпульсу

де – квантована енергія, що пов'язана з поперечним обмеженням руху електрона. Таким чином, електронні стани в цьому випадку описуються двома квантовими числами дискретним номером підзони n, та неперервним значенням хвильового числа , що відповідає вільному руху у площині ями. Графічно закон дисперсії електрона у квантовій ямі матиме вигляд укладених один в один параболоїдів обертання (рис. 4.9). При цьому мінімальне значення енергії відповідає найнижчому енергетичному рівню локалізованого в ямі стану при . Тобто, навіть при енергія електрона у квантовій ямі

Рис. 4.10. Утворення каналу квазідвовимірних електронів на межі розподілу модуляційно легованої гетероструктури. Синіми кульками позначено домішкові рівні, заповнені електронами, білими – дірки. Рівень Фермі збігається з рівнем донорної домішки в AlGaAs

більша за енергію руху електрона в об'ємному зразку (у площині ). Систему з

електронним конфайнментом можна отримати на межі розподілу при утворенні гетерограниці за методом так званого модуляційного легування. Пояснимо коротко ідею методу на прикладі гетерограниці AlGaAs/GaAs. Якщо при утворенні гетерограниці між AlGaAs, легованим кремнієм, та GaAs слабко легованим акцепторною домішкою, області легування не зачіпають сусідній напівпровідник, то електрони, що перейшли з домішок у зону провідності AlGaAs тепер перейдуть праворуч від межі розподілу й опиняться у “кишені” нижче рівня Фермі поблизу межі з боку арсеніду галію (рис. 4.10). Тобто, електрони будуть просторово розділені з домішками і сильно локалізованими в тонкому шарі поблизу гетерограниці. Ці електрони матимуть високу

Рис. 4.11. Формування енергетичних бар'єрів у різних кристалографічних напрямках гетероструктури AlAs-GaAs-AlAs

рухливість і будуть характеризуватися майже двовимірним характером їхнього руху. Таким чином, ці електрони можуть розглядатися як квазідвовимірна система з усіма притаманними таким системам властивостями, і для неї можуть застосовуватися методи обчислення енергетичного спектра, викладені вище. Зрозуміло, що тепер для побудови моделі необхідно використовувати інший, відмінний від прямокутного, потенціал. Як показує досвід, доброю моделлю потенціальної ями в цьому випадку слугуватиме трикутна потенціальна яма.

Розглядаючи властивості квантоворозмірних гетероструктур не треба забувати, що вихідні матеріали, на базі яких утворюються квантові ями, є кристалічними речовинами. Це означає, що вирощуючи ту чи іншу гетероструктуру слід мати на увазі, що при тих самих геометричних параметрах тонких епітаксіальних плівок можна отримувати принципово різні системи з погляду їхньої енергетичної структури. На рис. 4.11 показано просторові профілі енергетичної структури системи AlAs-GaAs-AlAs для різних груп носіїв. Як видно, квантова яма утворюється тільки для носіїв із Г-долини, для носіїв із X-долини область GaAs є бар'єром, а носії з L-долини взагалі не відчувають наявності бар'єрних структур.