4.6.2. Енергія електронів у надґратках

Рис. 4.30. Схематичне зображення потенціальної енергії надґратки з періодом

Як зазначалося вище, інтерес викликають гетеросистеми, що складаються з багатьох квантових ям, і актуальним є аналіз електронних властивостей таких структур. Аналіз властивостей системи гетеропереходів, що утворюють багатошарову структуру, є досить складним і в загальному випадку може проводитись тільки чисельними методами. Причому, ці методи можуть бути успішними тільки для небагатьох моделей. Але є прості моделі, які дозволяють отримати результати, що в основному пояснюють властивості надґраток, тобто особливості формування

енергетичного спектра електронів і шляхи впливу на зонну структуру з метою формування заздалегідь заданих її характеристик. До таких моделей належить модель Кроніна–Пенні. Розглянемо систему, що складається з неперервного набору квантових ям завширшки b, які розділені бар'єром завширшки a. Потенціальна енергія є періодичною функцією z із періодом (рис. 4.30):

, (4.174)

де

(4.175)

Ця модель досить добре описує гетеротструктуру, показану на рис. 4.25.

Розв'язки рівняння Шредингера відомі для кожного із доменів – це області ями та бар'єра. При цьому окремо необхідно розглядати випадки, коли енергія електрона перевищує або не перевищує розмір потенціального бар'єра. Для значень енергії E  V_b в області a  z  a  b хвильова функція поперечного руху має вигляд двох еванесцентних хвиль, що затухають углиб бар'єра назустріч одна одній,

. (4.176)

В області ями – це дві плоскі хвилі, що поширюються назустріч одна одній, тобто при 0  z  a маємо

. (4.177)

У цих формулах позначено

та . (4.178)

При цьому енергію можна записати як

. (4.179)

Використаємо те, що потенціал періодичний за z. Оскільки гамільтоніан є періодичним, періодичними будуть і його власні функції та значення. Для довільного хвильового вектора q маємо

(4.180)

або , де , (4.181)

тобто, доходимо висновку: розв'язок рівняння Шредингера задовольняє теорему Блоха. Застосуємо тепер циклічні граничні умови до блохівської функції, вважаючи кількість N періодів потенціалу великою:

. (4.182)

Для того, щоб співвідношення (3.58) виконувалося для хвильової функції (4.181), необхідно щоб

, (4.183)

де p – ціле число. Очевидно, що вектор q має бути дійсним. Крім того, існує N дозволених незалежних значень q. Відстанню між двома дозволеними величинами q є 2/Nd. Без обмежень у загальному підході можемо розглянути значення q з інтервалу [/d, /d], який зазвичай є першою зоною Бриллюена в оберненому просторі задачі. Запишемо ці умови у компактному вигляді додаткової хвильової функції

. (4.184)

Умови неперервності для хвильової функції _q та її похідної d_q/dz на межах розподілу мають вигляд

(4.185)

За явного запису цих умов отримаємо систему з чотирьох рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів А, В, С, D, що визначають хвильові функції (4.176) та (4.177),

(4.186)

або в матричному вигляді

(4.187)

де введено позначення I_  1 i(k_w/k_b). Для нетривіального розв'язку цієї системи рівнянь необхідно виконання умови

_{. (4.188)}

Звідси знайдемо, що дозволені блохівські стани мають задовольняти рівняння (  k_w/k_b),

, (4.189)

які відіграють роль закону дисперсії. Для аналізу отриманого рівняння зручно переписати його у вигляді

, (4.190)

де , , ,

. (4.191)