4.3.3. Щільність станів електронів у квантових ямах

Важливою характеристикою квантової системи є кількість станів, що припадають на інтервал енергії (E, E+δE):

. (4.74)

Тут фактор 2 враховує те, що кожен із n рівнів у ямі є дворазово виродженим по спіну. Рух електронів у квантовій ямі є тривимірним. Це підтверджує закон дисперсії (4.42), що пов'язує двовимірний рух у площині ями з рухом поперек ями. Тобто, двовимірна підзона, що репрезентує рух у площині ями, може бути пов'язаною з кожним із квантових зв'язаних станів у ямі. Щільність станів у цьому випадку визначаємо за формулою

. (4.75)

Площу зразка вважаємо великою, тобто використовуватимемо циклічні умови Борна–Кармана для координат x та y. Знаходимо

, . (4.76)

З іншого боку великі значення планарних розмірів ями дозволяють використати правило заміни суми на інтеграл

. (4.77)

Тоді для щільності станів маємо

. (4.78)

Покажемо, як обчислюються інтеграли типу (4.65). Розглянемо інтеграл

. (4.79)

По-перше зазначимо, що при і a > 0 інтеграл (4.79) тотожно дорівнює 0. У випадку, коли скористаємось відомими формулами

(4.80)

та

. (4.81)

Тоді замість (4.79) маємо

_(4.82)

Оскільки аргумент дельта-функції у другому доданку підінтегральної функції у (4.82) може дорівнювати 0 лише, коли , а в першому доданку тільки, коли , то обидва доданки при інтегруванні дають по одиниці, оскільки y змінюється у всьому діапазоні . У результаті маємо

. (4.83)

Для обчислення цього інтеграла треба визначити межі інтегрування. Виходитимемо з таких міркувань. Аргумент у першій дельта-функції в (4.82) може дорівнювати 0 лише за виконання умови

, (4.84)

або . Тоді маємо

. (4.85)

Згадуючи, що в цій формулі , отримаємо остаточно

, (4.86)

де – функція Хевісайда

(4.87)

Т аким чином, щільність станів носіїв у квантовій ямі є східцеподібною (рис. 4.13). На практиці часто застосовують щільність станів на одиницю площі. При цьому, зникає залежність від геометричних розмірів системи у площині двовимірного шару. Кожний доданок у формулі (4.86) відповідає внеску від окремої підзони. Тобто, щільність станів двовимірного електронного газу є східцеподібною, де кожна сходинка пов'язана з енергією . Порівнюючи щільність станів для тривимірного та двовимірного електронних газів, бачимо, що відмінність максимально проявляється для найнижчих підзон. Зі зростанням номера підзони ця відмінність становиться все меншою і майже зникає при великих значеннях n. Такі зміни в поведінці щільності станів двовимірного електронного газу є наслідками одновимірного конфайнменту або прямими наслідками низької розмірності системи. Ці зміни можуть призводити до істотних змін у поведінці електронів. У реальних системах кожна сходинка функції (4.74) згладжується за рахунок розсіяння на дефектах. Цей ефект добре описується емпіричним правилом, згідно з яким функція Хевісайда замінюється на таку:

(4.88)

із параметром поширення . Якщо згідно з формулою (4.75) при і для об'ємного матеріалу з енергетичною щілиною поглинання світла можливе лише при , то завдяки нерівності для квантової ями край смуги поглинання буде зсунуто в синю область. Цей зсув залежить від ширини ями і варіює від нуля до декількох сотень міліелектронвольт.

 4.4. Поперечний транспорт через подвійну

гетероструктуру

У попередньому підрозділі ми розглядали стани та рух електронів у структурах із квантовими ямами. До найпростіших планарних структур з ефектами просторового квантування відносять окрім квантових ям також подвійні гетероструктури, що утворюють бар'єри для поперечного руху електронів. Перед розглядом деяких ефектів поперечного транспорту в таких структурах, нагадаємо деякі відомості з теорії матриць переходу, застосування якої суттєво спростить викладення і допоможе краще зрозуміти фізику процесів у цих структурах.

 4.4.1. Матриця переходу (Т-матриця).

Ідея та застосування

Для того, щоб чітко уявити ідею Т-матриці, розглянемо розсіяння квантової частинки на деякому потенціалі. Нехай, наприклад, це буде східцеподібний потенціальний бар'єр висотою , розташова-

Рис. 4.14. Потенціальний бар'єр

ний при z = 0 (рис. 4.14). Нехай частинка має енергію . Тоді введемо хвильові вектори руху частинки в передбар'єрній та підбар'єрній областях. У цьому разі хвильову функцію частинки можна записати у вигляді двох плоских хвиль, що рухаються назустріч одна одній:

(4.89)

Для виконання вимоги неперервності хвильової функції та її похідної прирівнюємо значення хвильових функцій та їхніх похідних на бар'єрі. Маємо

, . (4.90)

Звідси можемо отримати зв'язок між коефіцієнтами, що визначають амплітуду хвильових процесів у перед- та підбар'єрній областях:

, (4.91)

. (4.92)

Рис. 4.15. Коефіцієнт проходження квантовою частинкою прямокутного бар'єра висотою 0,3 еВ (синя крива). Червона лінія відповідає коефіцієнту проходження класичної частинки

Звідси, вважаючи, що частинка рухається з області ліворуч бар'єра направо, і приймаючи амплітуду набігаючої хвилі рівною 1, маємо амплітуду відбитої хвилі

, (4.93)

а амплітуда хвилі, що пройшла бар'єр,

. (4.94)

При цьому коефіцієнт проходження потоку частинок є відношенням потоку частинок, що пройшли бар'єр, до потоку частинок, що падають на бар'єр, і дорівнює

. (4.95)

Коефіцієнт відбиття є відношенням потоку частинок, відбитих від бар'єра, до потоку частинок, що падає на бар'єр,

. (4.96)

Легко бачити, що при цьому зберігається неперервність потоку

. (4.97)

Поведінку коефіцієнта проходження бар'єра (0,3 еВ) частинкою показано на рис. 4.15. Зрозуміло, що у випадку у кінцевих формулах треба виконати заміну .

Процес, що описується хвильовою функцією (4.89) із коефіцієнтами (4.91), можна зобразити діаграмою (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Діаграма процесу розсіяння квантової частинки на однобар'єрній перешкоді

Система рівнянь (4.91) може бути переписаною в матричній (або в операторній) формі

. (4.98)

Для одноактного процесу розсіяння переваг уведення Т-матриці явно не спостерігається. Але якщо ми розглянемо більш складний процес послідовного розсіяння на двох бар'єрах, як це показано діаграмою на рис. 4.17, то впевнимось у перевазі методу. Амлпітуди хвиль частинок, що пройшли з області 1 в область 2 задаються амплітудами хвиль в першій області й Т-матрицею . Амплітуди хвиль в області 3 у свою чергу пов'язані з амплітудами хвиль у другій області матрицею . Таким чином

, . (4.99)

Тепер легко пов'язати амплітуди хвиль у третій області з амплітудами хвиль у першій області

. (4.100)

Т обто, для того, щоб знайти амплітуду хвильового процесу при n-разовому розсіянні хвиль, треба просто знайти відповідну Т-матрицю, яка є простим добутком n матриць одноразового розсіяння. Цей метод добре працює у випадку, коли визначення Т-матриці елементарного акту розсіяння на всіх етапах складного процесу є простою рекурентною задачею.

Повертаючись до процесу розсіяння частинки, яка, рухаючись зліва направо, розсіюється потенціальною сходинкою, запишемо

. (4.101)

При цьому

, . (4.102)

Т-матриця визначається такими елементами:

. (4.103)

Тепер легко узагальнимо метод обчислення коефіцієнта проходження квантовою частинкою багатобар'єрної структури. Нехай частинка рухається у структурі, що складається з n бар'єрів, коефіцієнти проходження яких відомі (рис. 4.18). Розглядаючи послідовно процеси розсіяння на кожному бар'єрі, як це робилось у випадку двобар'єрної структури, запишемо

. (4.104)

Таким чином, ми отримали дуже важливий результат, що є основою методу Т-матриці, а саме:

коефіцієнт проходження n-бар'єрної структури дорівнює добутку матриць переходу кожного з бар'єрів.

З ауважимо, що формули для Т-матриці, отримані вище, записані для випадку, коли границя бар'єра розташована на початку координат. Далі нам знадобиться явний вигляд Т-матриці для бар'єра, що розташований у довільній точці координатної осі, скажімо z = d. Оскільки амплітуда хвильової функції змінюється лише при переході частинкою бар'єра, то зсув бар'єра на відстань d призведе лише до зміни фази хвильової функції. Тоді можна припустити, що тільки на такі фазові множники і будуть відрізнятись компоненти Т-матриць Т(0) та Т(d). Для знаходження такого зв'язку ми спочатку транслюємо систему координат на d. Тоді у новій системі координат . Тепер падаюча хвиля, яка мала вигляд , перетвориться . Тобто її амплітуда домножиться на фактор . Аналогічно амплітуда хвилі, що рухається у протилежному напрямку, повинна домножуватись на фактор . Таку операцію можна записати як добуток діагональної матриці на вектор амплітуд:

. (4.105)