Вложенные циклы в матричных задачах.

1. Даны целые числа , , . Получить целочисленную матрицу , для которой .

2. Даны действительные числа ,…, , ,…, . Получить действительную матрицу , для которой .

3. Получить  целочисленную матрицу, для которой . .

4. Дано натуральное число . Получить действительную матрицу , для которой:

   1. ;

   2. 

5. Дана действительная квадратная матрица . Получить две квадратные матрицы, , , для которых

6. Получить действительную матрицу , первая строка которой задается формулой ( ), вторая строка задается формулой ( ), а каждая следующая строка есть сумма двух предыдущих.

7. Даны натуральное число , действительная матрица размером . Найти среднее арифметическое:

   1. каждого из столбцов;

   2. каждого из столбцов, имеющих четные номера.

8. Дано натуральное число . Выяснить, сколько положительных элементов содержит матрица , если:

   1. ;

   2. ;

   3. .

9. Дана действительная матрица размера , в которой не все элементы равны нулю. Получить новую матрицу путем деления всех элементов данной матрицы на ее наибольший по модулю элемент.

10. Дано натуральное число , целые числа ,…, и целочисленная квадратная матрица порядка . Строку с номером матрицы назовем отмеченной, если , и неотмеченной в противном случае.

    1. Нужно все элементы, расположенные в отмеченных строках матрицы, преобразовать по правилу: отрицательные элементы заменить на -1, положительные  на 1, нулевые оставить без изменения.

    2. Подсчитать число отрицательных элементов матрицы, расположенных в отмеченных строках.

11. Дана действительная квадратная матрица порядка 12. Заменить нулями все ее элементы, расположенные на и выше главной диагонали.

12. Даны действительные числа ,…, . Получить действительную квадратную матрицу порядка 8:

    1. ;

    2. .

13. В данной действительной матрице размера 69 поменять местами строку, содержащую элемент с наибольшим значением, со строкой, содержащей элемент с наименьшим значением. Предполагается, что эти элементы единственны.

14. Даны натуральное число , целочисленная матрица . Найти сумму тех из элементов ( ), для которых имеет значение наибольшего среди значений , ,…, .

15. Дана целочисленная квадратная матрица порядка 8. Найти наименьшее из значений элементов столбца, который обладает наибольшей суммой модулей элементов. Если таких столбцов несколько, то взять первый из них.

16. Даны натуральное число , целочисленная квадратная матрица порядка . Найти номера строк:

    1. все элементы которых нули;

    2. элементы каждой из которых одинаковы;

    3. все элементы которых четны;

    4. элементы каждой из которых образуют монотонную последовательность (монотонно убывающую или монотонно возрастающую);

    5. элементы которых образуют симметричные последовательности (палиндромы).

17. Даны натуральное число , действительное число , действительная матрица размера . Получить логическую последовательность ,…, , где имеет значение «истина», если элементы -ой строки матрицы не превосходят , и значение «ложь» в противном случае.

18. Дана действительная квадратная матрица порядка . Рассмотрим те элементы, которые расположены в строках, начинающихся с отрицательного элемента. Найти суммы тех из них, которые расположены соответственно ниже, выше и на главной диагонали.

19. Дана действительная квадратная матрица порядка 9. Получить логическую квадратную матрицу того же порядка, в которой элемент имеет значение «истина», если соответствующий ему элемент исходной матрицы больше элемента, расположенного в его строке на главной диагонали, и имеет значение «ложь» в противном случае.

20. Дана действительная квадратная матрица порядка . Получить , где  наименьшее значение элементов -ой строки данной матрицы.

21. Даны действительная квадратная матрица порядка , натуральные числа , ( , ). Из матрицы удалить -ую строку и -ый столбец.

22. Даны натуральное число , действительная квадратная матрица порядка . Построить логическую последовательность ,…, , в которой имеет значение «истина только тогда, когда:

    1. элементы -ой строки матрицы образуют возрастающую последовательность;

    2. элементы -ой строки матрицы образуют возрастающую или убывающую последовательность.

23. Дана целочисленная квадратная матрица порядка 15. Выяснить, имеются ли в матрице ненулевые элементы, и, если имеются, то указать индексы:

    1. одного из ненулевых элементов;

    2. всех ненулевых элементов.

24. Даны действительная квадратная матрица порядка , натуральные числа , ( ). Поменять в матрице местами -ый и -ый столбцы.

25. Даны натуральное число, действительная квадратная матрица порядка . Построить логическую последовательность ,…, , в которой имеет значение «истина только и только тогда, когда в -ой строке матрицы есть хотя бы один отрицательный элемент.

26. Даны натуральные числа и , действительное число , действительная матрица размера . Найти значение

, где  первый по порядку положительный элемент в строке матрицы ( ); если в -ой строке нет положительных элементов, то =0.5.

27. Найти сумму квадратов тех элементов матрицы , для которых выполнено , , .

28. Дана действительная квадратная матрица порядка . Вычислить сумму тех из ее элементов, расположенных на главной диагонали и выше нее, которые превосходят по величине все элементы, расположенные ниже главной диагонали. Если на главной диагонали и выше нее нет элементов с указанным свойством, то ответом должно быть сообщение об этом.

29. Будем называть соседями элемента с индексами , некоторой матрицы такие элементы этой матрицы, соответствующие индексы которых отличаются от и не более чем на единицу. Для данной целочисленной матрицы найти логическую матрицу , элемент которой имеет значение «истина», когда:

    1. все соседи меньше самого ;

    2. все соседи и само равны нулю;

    3. среди соседей есть не менее двух, совпадающих с .

30. Операция сглаживания матрицы дает новую матрицу того же размера, каждый элемент которой получается как среднее арифметическое имеющихся соседей соответствующего элемента исходной матрицы. Построить результат сглаживания заданной вещественной матрицы размером 1010.

31. Элемент матрицы называется локальным минимумом, если он строго меньше всех имеющихся у него соседей. Подсчитать количество локальных минимумов заданной матрицы размером 1013.

32. В условиях предыдущей задачи найти максимум среди всех локальных минимумов заданной матрицы размером 1012.

33. Определить, становится ли симметричной (относительно главной диагонали) заданная матрица размером 1010 после замены на нуль каждого локального минимума.

34. Даны две целочисленные квадратные матрицы, порядка 6. Найти логическую последовательность ,…, такую, что имеет значение «истина», когда:

    1. все элементы -ой строки первой матрицы больше соответствующих элементов -ой строки второй матрицы;

    2. все элементы -ых строк первой и второй матриц отрицательны;

    3. -е строки первой и второй матриц содержат вместе более трех положительных элементов;

    4. количество отрицательных и неотрицательных элементов -ой строки первой матрицы совпадает соответственно с количеством отрицательных и неотрицательных элементов -ой строки второй матрицы.

35. Даны натуральное , символьная квадратная матрица порядка . Получить логическую последовательность ,…, в которой, что имеет значение «истина», тогда и только тогда, когда в -ой строке число символов * не меньше числа пробелов.

36. Дана символьная матрица размера 1318. Найти:

    1. номер первой по порядку строки, содержащей наибольшее число цифр;

    2. номер первого по порядку столбца, содержащего наименьшее число пробелов на пересечении со строками, номера которых четны;

    3. номер последней по порядку строки, содержащей наибольшее количество букв с, р.

    4. номер последнего по порядку столбца, в котором содержится наибольшее количество попарно различных символов.

37. Дана символьная матрица , в каждой из строк которой имеется по крайней мере один пробел, за которым следует отличный от пробела символ (т. е. имеется по крайней мере одна группа пробелов внутри строки). За счет изменения групп пробелов внутри строк надо добиться того, чтобы в конце каждой из строк пробелы отсутствовали. Количества пробелов в разных группах, располагающихся внутри одной и той же строки, должны различаться не более чем на единицу.

38. Две строки матрицы назовем похожими, если совпадают множества чисел, встречающихся в этих строках. Найти количество строк в максимальном множестве попарно непохожих строк заданной матрицы.

39. Говорят, что матрица имеет седловую точку , если является минимальным в -ой строке и максимальным в -ом столбце. Найти номер строки и столбца какой-нибудь Седловой точки заданной матрицы.

40. Найти максимальный среди всех элементов тех строк заданной матрицы, которые упорядочены (либо по возрастанию, либо по убыванию).

41. Среди строк заданной целочисленной матрицы, содержащих только нечетные элементы, найти строку с максимальной суммой модулей элементов.

42. Среди столбцов заданной целочисленной матрицы, содержащих только такие элементы, которые по модулю не больше десяти, найти столбец с минимальным произведением элементов.

43. Для заданной матрицы размером 1010 найти такие , что -я строка матрицы совпадает с -ым столбцом.

44. Пусть означает номер столбца матрицы , в котором находится последний в строке минимум -ой строки. Проверить, верно ли, что для заданной матрицы размером 2020 выполняются неравенства

45. Всякий элемент заданной квадратной матрицы размером 2020 задает разбиение матрицы на четыре клетки с индексами , , и , хотя бы одна из которых непуста. Построить матрицу того же размера, в которой равен минимуму среди максимальных элементов непустых клеток, определяемых в элементом .

46. Определить, являются ли линейно независимыми три заданных вектора целых чисел длиной 30.

47. Проверить, удовлетворяет ли заданная матрица размером 1010 следующему условию: для всех и для всех верно неравенство .

48. Взаимно однозначное отображение элементов матрицы на себя можно задать с помощью двух целочисленных матриц: в первой указывать номер строки, куда переходит данный элемент, а во второй  номер столбца. Построить две матрицы, задающие отражение каждого элемента матрицы размером 1010 на симметричный ему относительно главной диагонали.

49. Получить квадратную матрицу порядка :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

1. Даны действительная матрица размера , действительные числа ,…, , ,…, , натуральные числа , ( , ). Образовать новую матрицу размера вставкой после строки с номером данной матрицы новой строки с элементами ,…, и последующей вставкой после столбца с номером нового столбца с элементами ,…, .

2. Даны целые числа ,…, , целочисленная квадратная матрица порядка . Заменить нулями в матрице те элементы с четной суммой индексов, для которых имеются равные среди ,…, .

3. Даны действительные числа ,…, , действительная квадратная матрица порядка ( ). Получить действительную матрицу размера , вставив в исходную матрицу между пятым и шестым столбцами новый столбец с элементами ,…, .

4. Дана целочисленная матрица размера . Найти матрицу, получающуюся из данной:

   1. перестановкой столбцов  первого с последним, второго с предпоследним и т. д.;

   2. перестановкой строк  первой с последней, второй с предпоследней и т. д.

5. Даны действительная квадратная матрица порядка . Преобразовать матрицу по правилу: строку с номером сделать столбцом с номером , а столбец с номером сделать строкой с номером .