Додаткове завдання

Перевірити практично метод розрахунку електричного кола методом вузлових напруг.

Теоретичні відомості

Аналіз та розрахунок одних параметрів електричного кола (струмів, напруг та потужностей) здійснюється за заданими значеннями інших параметрів. Існує багато різних методів розрахунку кіл постійного струму: закони Кірхгофа; методи накладання, еквівалентних перетворень, контурних струмів, вузлових напруг тощо. Розглянемо деякі із них.

Закони Кірхгофа

У першому законі Кірхгофа говориться про те, що сума струмів вузла дорівнює нулю: .

У другому законі Кірхгофа дається співвідношення між ЕРС та спадами напруг на окремих дільницях електричного кола: у замкненому контурі сума електрорушійних сил дорівнює сумі спадів напруг .

Метод накладання. Для розрахунку електричних кіл іноді використовують метод накладання, що базується на принципі суперпозиції струмів. Принцип суперпозиції для ліній­них кіл постійного струму полягає в тому, що в будь-якій вітці струм дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які б протікали у ній при дії кожного джерела живлення взятого окремо, у той час як інші джерела замінюються резистивними елементами кола з опорами, що дорівнюють їх внутрішнім опорам.

Метод накладання застосовують для аналізу та розрахунку параметрів електричного кола з декількома джерелами живлення. Суть цього методу полягає в тому, що складне електричне коло замінюють декількома простішими, у кожному з яких діє лише одне джерело. Електричні струми, створені окремими джерелами у відповідних вітках, розраховують методом еквівалентних перетворень. Реальні ж струми визначають як алгебраїчну суму струмів у кожній вітці кола. На рис. 4 показано послідовність розрахунку кола з використанням методу накладання, до складу якого входить два джерела ЕРС – Е₁ та Е₂.

Рис. 4. Електричні схеми до пояснення розрахунку кіл методом накладання.

Припустимо, що в електричному колі (рис.4,а) по черзі вилучають джерела ЕРС (рис.4,б та 4,в). У такому випадку замість дійсних значень струмів І_1, І_2, І₃ у вітках циркулюватимуть електричні струми (рис. 4,б) при вилученні джерела Е₂ та струми (рис. 4,в) при вилучені джерела Е₁.

Зробимо розрахунки для сили струму у колах з почерговим вилученням ЕРС - Е₁ та Е₂ відповідно.

Для схеми рис. 4,б:

; ; .

Для схеми рис. 4,в:

; ; .

Дійсні напрямки струмів у вітках відповідно принципу суперпозиції дорівнюють: .

Напрям дійсних значень струмів відповідає напрямкам стрілок на схемі при додатних значеннях розрахунків, якщо ж отримані розрахунками значення окремих струмів мають від’ємні значення, то їх дійсний напрямок є зворотним до прийнятого.

Аналогічно струмам, спади напруг на резисторах також розраховують методом накладання: ; ; .

Недоліком методу накладання є те, що за ним не можна визначати потужності. Тому для аналізу складних кіл застосовують інші методи. Окремі із них дозволяють використовувати готове математичне та програмне забезпечення, розроблене для розв'язку систем рівнянь будь-якого порядку. До таких методів можна віднести закони Кірхгофа, вузлових напруг, метод контурних струмів та інші.

Метод вузлових напруг. Якщо електричне коло складається з багатьох активних та пасивних віток з’єднаних у двох вузлах, то найпростішим способом розрахунку його параметрів є метод вузлових напруг.

Рис. 5. Електричне коло з 2 активних і 2 пасивних віток

Наприклад, є електричне коло з двох активних, що мають джерела ЕРС Е₁ та Е₂ і двох пасивних віток, які не мають джерел ЕРС (рис. 5).

Напруга між вузлами А та В згідно закону Ома: , де І – сила струму в активних вітках, а R їх еквівалентний (сумарний) опір.

Запишемо другий закон Кірхгофа для окремих віток:

(1)

Запишемо перший закони Кірхгофа для вузла А:

. (2)

Підставимо вирази 1 до рівняння 2:

. (3)

Для зручності запису перепишемо значення опорів резисторів через їх провідність . Замінимо опори резисторів їх провідностями в рівнянні 3:

Після розв’язування рівняння отримаємо вираз для розрахунку вузлових напруг: .

Метод контурних струмів.

Нехай ми маємо електричне коло (рис. 6), у якому 2 джерела ЕРС і 3 резистори. Довільно вибираємо контурні струми І_1к та І_2к, які циркулюють у відповідних замкнутих контурах.

Рис. 6. Електричне коло для розрахунку контурних струмів.

Запишемо другий закон Кірхгофа для кожного із контурів. При цьому отримаємо систему двох рівнянь з двома невідомими І_1к та І_2к..

; . (4)

Цю ж задачу можна розв’язати за допомогою 1 і 2 законів Кірхгофа. Запишемо систему рівнянь:

(5)

Порівнюючи системи двох рівнянь з двома невідомими (4 та 5), бачимо, що вони тотожні. Але у першому випадку ми мали на початку на одне рівняння менше, а отже простіший розв’язок відносно величин струмів.

Побудова потенцільних діаграм.

Потенціальна діаграма дає можливість наочно відобразити спади напруг на окремих ділянках контуру. При її побудови, на осі абсцис відкладають (у вибраному масштабі) величини опорів на окремих дільницях (між окремими точками контуру), а по осі ординат - різниці потенціалів або спади напруги між цими ж точками. Якщо потенціальна діаграма побудована без урахування внутрішнього опору джерела енергії, її називають наближеною.

Рис. 7. Електрична схема.	Рис. 8. Потенціальна діаграма

Для прикладу побудуємо потенціальну діаграму для контуру АBСA рис. 7. Почнемо обхід контуру з точки А, прийнявши за нуль потенціал . На другій клемі джерела ЕРС Е₁ у точці В потенціал буде найвищим, а числове значення, відповідно закону Ома . Потенціал у точці С зменшиться на величину спаду напруги на резисторі R₁ і досягне значення . Очевидно, що на іншому резисторі R₂ відбудеться спад напруги за рахунок протікання струму І₁ джерела Е₁ та зустрічного струму І₂, що створює джерело Е₂. Отже, потенціал у точці D дорівнює: . Наступним кроком у зміні потенціалу в контурі є перехід через джерело струму Е₂. Точки М та А мають один і той же потенціал, чисельно рівний . Це рівняння можна переписати у вигляді другого закону Кірхгофа:

.

Отже, відкладаючи у масштабі на вісі абсцис величини відповідних опорів резисторів та внутрішніх опорів джерел струму, а по вісі ординат різницю потенціалів на кожному із них, отримаємо потенціальну діаграму (рис. 8), яка є наочною ілюстрацією другого закону Кірхгофа.