Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский национальный исследовательский технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Математика МУ ФЭПО.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Раздел 2. Математический анализ

Функция: основные понятия и определения.
Предел функции.
Производные первого порядка.
геометрический и физический смысл производной.
Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной.
Асимптоты графика функции.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Основные методы интегрирования.
вычисление определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
приложения определенного интеграла.
Элементы теории множества.
Мера плоского множества.
Отображение множеств.
Сходимость числовых рядов.
область сходимости степенного ряда.

Функция: основные понятия и определения

, , , D – область определения функции, G – область значений функции.

– явно заданная функция, – неявно заданная функция.

Функцию можно рассматривать как отображение точек оси ох (область D) в точки оси оу (область G).

Основные элементарные функции:

, , ,

, , , ,

, , ,

, .

Функция четная, если , график симметричен относительно оси оу; нечетная, если , график симметричен относительно начала координат.

Числовая последовательность

Числовая последовательность монотонно возрастающая (убывающая), если .

Сумма бесконечно-убывающей геометрической прогрессии: .

Числовая последовательность является ограниченной, если и сходящейся, если эта последовательность имеет предел.

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Предел функции

-окрестностью точки называется интервал или множество х, удовлетворяющих неравенству .

Первый замечательный предел .

Второй замечательный предел .

Функция бесконечно малая при , если . Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Две бесконечно малые функции и являются эквивалентными (в окрестности точки х₀), если .

Основные эквивалентности при .

~ х, , , ,

, , , , .

Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

Если , то – точка разрыва первого рода (скачок); если , но не определено, то – точка устранимого разрыва. Если в точке не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то является точкой разрыва 2-го ряда.

Если функция определена и непрерывна на [а, b] и принимает на его концах разные знаки, то найдется хотя бы одна точка [а, b], что =0.

Производные первого порядка. Производная и ее применение

Уравнение касательной к кривой в точке :

Уравнение нормали к кривой в точке :

Угловой коэффициент касательной:

Скорость изменения функции в точке

, ускорение .

Дифференциал функции dy функции

, ( - бесконечно малая),

Приложения дифференциального исчисления. Правило Лопиталя

Для раскрытия неопределенностей вила .

Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на (а, в), когда при а<x<в и монотонно убывающей, если при а<x<в.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Если меняет знак при переходе через точку , то – точка локального экстремума (если с «+» на «–» - локальный максимум, если же с «–» на «+» - локальный минимум).

Кривая вогнута вверх на (а, b), если в каждой точке этого интервала и вогнута вниз, если при а<x<b.

Точка = называется критической точкой II рода, если в этой точке имеет место одно из условий:

1) , 2) , 3) не существует и при этом сама функция в точке = определена.

Точки перегиба находятся среди критических точек II рода, т.е. если при переходе через критическую точку II рода вторая производная функции меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

Асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой кривой, если .

Прямая является наклонной асимптотой кривой , если , .

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (ФНП)

Функция двух переменных: .

Полный дифференциал , где частные дифференциалы

, .

Для приближенного вычисления значения функции используют формулу

Дифференциал второго порядка

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке имеют вид:

; ,

а для поверхности в точке :

; .

Экстремум функции двух переменных

Если функция дифференцируема в точке , имеет экстремум в этой точке, то , и если

и , то – точка максимума,

и , то – точка минимума,

, то не является точкой экстремума,

где , , .

Скалярное поле

Линия уровня: (с – постоянная).

Поверхность уровня: (с – постоянная).

Производная скалярного поля u(М) по направлению вектора l, заданному вектором , вычисляется по формуле:

где , , , , .

Градиент скалярного поля: , а наибольшая скорость изменения поля u(М) в точке М .

Методы интегрирования

Интегрирование по частям .

Простейшие дроби , , , (n>0 целое).

	m>0 нечет. n>0 нечет. m+n<0 четн. m≥0, n≥ 0 четн. ,

, , ,

, ( – общий знаменатель , . . ., )

, в числителе выделить производную подкоренного выражения, ввести компенсирующие множители и слагаемые, разбить на сумму двух интегралов.

Определенный интеграл

Интегрирование по частям:

Несобственные интегралы – это интегралы вида , ,

, (если имеет разрыв на [а, в]).

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми , , , прямыми и _, .

Площадь криволинейной трапеции , , , и прямыми и _, .

Площадь криволинейного сектора .

Длина дуги кривой

Если линия задана уравнением , .

Если кривая задана параметрическими уравнениями , ,

Если кривая задана уравнением в полярных координатах ,

Элементы теории множества

Для множества Р существует всех подмножеств

Объединением множеств А₁, А₂, …, А_n является множество

Пересечением множеств А₁, А₂, …, А_n является множество

Свойства объединения и пересечения: ,

, .

Если , то и .

, Ø=Ø.

Если J – данное множество, то дополнение множества А содержит элементы, которые являются элементами множества J, но не входят в А.

= .

Мера плоского множества вычисляется с помощью определенного интеграла и для простых областей используются формулы:

, , .

Сходимость числовых рядов

Числовой ряд

Бесконечно–убывающая геометрическая прогрессия – сходящийся ряд и его сумма , гармонический ряд расходящийся, обобщенный гармонический ряд

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости).

Признаки сходимости

Если даны два ряда и с неотрицательными членами . Из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Признак Даламбера

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши: сходимость и расходимость ряда совпадает со сходимостью или расходимостью .

Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия теоремы Лейбница и .

Степенные ряды

Для степенного ряда интервал сходимости , где .

Для степенного ряда интервал сходимости .

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Контрольные задания к разделу №2

1. Условие

Пусть . Тогда сложная функция четная, если функция задается формулами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение

в) – четная;

г) – четная.

2. Условие

Заполните пропуски. Если последовательность . . . , то она . . .

1) монотонна; сходится;

2) сходится; ограничена;

3) монотонна и ограничена, сходится;

4) ограничена; сходится.

Решение

3) монотонна и ограничена, сходится

3. Условие

Последовательность задана рекуррентным соотношением ; ; тогда равен:

1) 83;

2) 56;

3) 11;

4) 29.

Решение

; ; ; ;

4. Условие

Общий член последовательности 1; ; ; имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

5. Условие

На числовой прямой дана точка х=5,6. Тогда - окрестностью является интервал

1) (5,2; 5,6);

2) (5,4; 5,8);

3) (5,6; 5,9);

4) (5,4; 5,9).

Решение

6. Условие

Задано множество точек на числовой прямой: а=0,5; в=-1,2; с=3,2; d=-0,5; е=1,1; f=2,2. Тогда количество точке этого множества принадлежащих - окрестности точки х=1 при , равно:

Решение

Ответ: 2

7. Условие

На числовой прямой дана точка х=5,3. Тогда ее - окрестностью может являться интервал:

1) (4,9; 5,3);

2) (5,3; 5,7);

3) (5,1; 5,8);

4) (5,1; 5,5).

Решение

8. Условие

Значение равно:

1) 1;

2) 2;

3) ∞;

4) 0.

Решение

Предел равен 2

9. Условие

Действительный корень уравнения принадлежит интервалу

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

_,х=0.

10. Условие

Для дробно - рациональной функции точками разрыва являются:

1) х = 1;

2) х = 0;

3) х = -2,5;

4) х = -2.

Решение

11. Условие

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х = 0 равен

1) 4;

2) 5;

3) 1;

4) 3.

Решение

;

12. Условие

Материальная точка движется по закону . Тогда ее ускорение в момент t=0 равно:

1) 0;

2) -8;

3) 4;

4) 8.

Решение

; ;

13. Условие

Значение производной второго порядка функции в точке равно:

1) 4;

2) 1;

3) -4;

4) -1.

Решение

; ;

14. Условие

Г рафик функции представлен на рисунке, тогда значение производной этой функции в точке х₀ равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

15. Условие

Значение функции в точке можно вычислить по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

; ;

16. Условие

Укажите вид графика функции, для которой на [а, в] , ,

Решение 1)

17. Условие

Дан радиус – вектор движущейся в пространстве точки , тогда вектор ускорения точки в момент t=1 имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

; ;

18. Условие

Производная функции имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

;

19. Условие

Наименьшее значение функции на [-1; 1] равно:

1) 0;

2) ;

3) ;

4) –2.

Решение

, , х=0, х=2.

;

у_наим.=-2

20. Условие

График производной

т огда справедливы следующие утверждения:

1) в точке -1 функция имеет max;

2) на (0; 1) функция убывает;

3) на (-1; 0) функция возрастает;

4) в точке –2 функция имеет min.

Решение

1) и 2)

21. Условие

Наименьшее значение из области значений функции равно:

1) -6;

2) -2;

3) -1;

4) -26.

Решение

22. Условие

Производная второго порядка функции имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

;

23. Условие

Наименьшее значение функции на отрезке [2; 7] равно:

1) 7;

2) 5;

3) 8;

4) 13.

Решение

;

24. Условие

Для функции справедливы соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

; 2) ; 3) ;

25. Условие

Частная производная функции по переменной у в точке М(0; 1) равна

1) е;

2) 2е;

3) 3е;

4) 3.

Решение

26. Условие

Для функции справедливы соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

; ;

1) ; 2)

27. Условие

Частная производная функции по у в точке равна:

1) 1;

2) -1;

3) 0;

4) 4.

Решение

;

28. Условие

Градиент скалярного поля в точке А(0; 1; 1) имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

, , . ; ; ;

29. Условие

Производная скалярного поля в точке С (-1, -1) в направлении равна:

1) -6;

2) -10;

3) -4;

4) 1.

Решение

30. Условие

Линиями уровня функции является:

1) параболы;

2) гиперболы;

3) прямые;

4) эллипсы.

Решение

z=c; ; – параболы

31. Условие

Линии уровня u=1 плоского скалярного поля имеет вид:

;

Решение

; . Ответ 4.

32. Условие

Первообразными функции являются:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

2) ;

3) .

33. Условие

Сходящимися являются несобственные интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

34. Условие

Множество первообразных функций имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

35. Условие

Несобственный интеграл равен

1) ;

2) 1;

3) -1;

4) .

Решение

36. Условие

Установите соответствие между заштрихованными фигурами и определенными интегралами, которые выражают площадь этих фигур

y=f(x)

y=q(x)

А) ;

В) ;

С) ;

D) ;

Е) ;

F) .

Решение

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

37. Условие

Ненулевая функция является нечетной на [-5; 5]. Тогда равен:

1) ;

2) ;

3) ;

4) 0.

Решение

, ответ 0.

38. Условие

Площадь фигуры,

определяется интегралом:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

39. Условие

Множество первообразных функций имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

40. Условие

Множество всех первообразных функций имеют вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

41. Условие

Площадь фигуры равна …

1) 4,25;

2) 3,25;

3) 4;

4) 15.

Решение

42. Условие

Образом [0; 1] при отображении является:

1) [2; 3];

2) [0; 3];

3) [2; 5];

4) (2; 5).

Решение

; Ответ: 3)

4 3. Условие

Мера множества на рисунке равна …

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

44. Условие

Число 2,5 принадлежит множеству

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

45. Условие

Элементами множества натуральных чисел является:

1) ;

2) 0;

3) 3;

4) 147;

5) (-2).

Решение

Ответ: 3) 3; 4) 147

46. Условие

Отображение f множества целых чисел в себя определяется . Тогда число элементов образа множества при этом отображении равно…

Решение

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ответ: 7

47. Условие

Установить соответствие между списками двух множеств, заданных различным образом:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

А) ,

В) ,

С) ,

Д) ,

Е)

Решение

1) ; 2) ; 3) 4) .

48. Условие

Установите соответствие между промежутками и их образом при отображении

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

А) ,

В) ,

С) ,

Д) ,

Е) ,

Решение

y=3x-1; y(1)=2; y(2)=5; y(-1)=-4; y(0)=-1

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

49. Условие

Мера плоского множества на рисунке равна:

1) -0,5;

2) 0;

3) 0,5;

4) 6.

Решение

50. Условие

Мера множества на рисунке равна:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

51. Условие

Укажите сходящиеся числовые ряды

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

1) сравнить с сходится;

2) ; расходится;

3) ; расходится;

4) ; сходится.

52. Условие

Укажите сходящиеся числовые ряды

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение сходящиеся ряды 3) и 4).

53. Условие

Установите соответствие между видами сходимости и знакопеременными рядами

А) ; В) ; С)

1.) абс. сходимость;

2) условная сходимость;

3) расходимость

Решение

абс. сходимость В), услов. сходимость А), расходимость С)

54. Условие

Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов

А) и ;

1) А сходится и В расходится;

2) А расходится, В сходится;

3) А, В расходятся;

4) А и В сходятся.

Решение

А – бесконечно убывающая прогрессия; , Р<1 расходится Ответ: 1)

55. Условие

Сумма числового ряда равна

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

56. Условие

Если радиус сходимости степенного ряда равен 3, то интервал сходимости имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение

интервал сходимости .

Если R=3, то ; ;

57. Условие

Радиус сходимости степенного ряда равен 10. Тогда интервал сходимости имеет вид:

1) (0; 10);

2) (-10; 10);

3) (-10; 0);

4) (-5; 5).

Решение

; , R=10;

58. Условие

Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости ряда равно:

Решение

Ответ: 9

59. Условие

Если , то а₄ разложения функции в ряд Тейлора по степеням (х-1) равен:

1) 0,25;

2) 2;

3) 1;

4) 0.

Решение

;

; ; ; ; .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
26.03.2016789 Кб22Lab1.doc
#
01.03.20252 Мб1ВКР_3.doc
#
03.12.2018706 Кб43задания с решением.docx
#
26.03.2016526 Кб38контр.работа №1 математика, варианты.doc
#
20.09.201952 Кб22мат часть 2.docx
#
01.03.20253 Мб5Математика МУ ФЭПО.docx
#
23.09.2019791 Кб14ответы на математику.docx
#
23.09.2019531 Кб35первый семестр - Труппова.docx
#
13.11.2019206 Кб18Практическое занятие 1 Элементы теории вероятно...doc
#
23.12.2018242 Кб33реферат по математике (2).doc
#
22.11.2019286 Кб14РУП-Математика.doc