Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский национальный исследовательский технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Математика МУ ФЭПО.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Раздел 5. Теория вероятностей.

Случайные события.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения и их числовые характеристики.
Статистическое распределение выборки. Характеристики вариационного ряда.
Точечные и интервальные оценки параметров распределения.
Элементы корреляционного анализа. Проверка статистических гипотез.

Случайное событие — некоторое подмножество множества элементарных исходов случайного эксперимента. Случайное событие может либо произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий.

Случайные события обозначаются прописными буквами: A, B, C …

Событие, которое обязательно произойдет при определенной совокупности условий, называется достоверным и обозначается символом Ω.

Событие, которое заведомо не произойдет при определенной совокупности условий, называется невозможным и обозначается символом .

Вероятность случайного события

где m - число исходов, благоприятствующих появлению данного события, n – общее число всех равновозможных элементарных исходов. Вероятность – это число, являющееся мерой объективной возможности наступления события.

Вероятность достоверного события , вероятность невозможного события . Следовательно, вероятность случайного события .

Для подсчета числа благоприятных исходов и числа равновозможных исходов пользуются комбинаторикой. Существуют два основных правила комбинаторики:

Правило сложения.

Если два альтернативных (взаимно исключающих) действия могут быть выполнены n и m способами, то выполнение одного из них возможно способами.

Правило умножения.

Если первое действие можно сделать n способами, а второе – m способами, то два действия можно сделать способами.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения:

Перестановки с повторениями:

где .

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком:

Размещения с повторениями:

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются составом элементов:

Сочетания с повторениями:

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Иначе, события называются совместными.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) =P(A) + P(B) – P(AB).

Группа событий называется полной, если в результате опыта наступает хотя бы одно из этих событий.

Два события называются противоположными, если это несовместные события, образующие полную группу. - противоположное событие.

Р(A+ ) =P(A) + P( ) = 1, следовательно P( ) = 1 - P(A).

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления другого события.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событии:

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события.

P(A|B) – это условная вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого:

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу событий. Тогда для любого события А, которое может произойти при условии наступления одного из событий , имеет место формула полной вероятности

Пусть события H₁, H₂, …, H_nобразуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события H_k(k = ) при условии, что событие А произошло, задается формулой Байеса

Формула Байеса показывает, как изменяется вероятность гипотезы при реализации события А.

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p , а вероятность его не появления равна , то вероятность того, что событие А произойдет m раз определяется формулой Бернулли:

Число m₀, при котором вероятность P_n(m₀) достигает своего максимального значения, называют наивероятнейшим числом успехов:

Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения и их числовые характеристики.

Случайной величиной называют величину, которая в результате опыта принимает различные значения, заранее неизвестные.

Дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде ряда распределения, многоугольника распределения и функции распределения.

Ряд распределения:

X	x₁	x₂	x₃	. . .	x_n
P	p₁	p₂	p₃	. . .	p_n

Многоугольник распределения – это ломаная, вершинами которой являются точки с координатами :

Числовыми характеристиками называют параметры, отражающие наиболее существенные черты закона распределения случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины и их вероятностей:

Свойства математического ожидания независимых случайных величин:

(C – постоянная),
,
,
.

Модой дискретной случайной величины называется ее наивероятнейшее значение.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию можно вычислить по формуле .

Свойства дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение – это . Этот параметр имеет размерность случайной величины и может быть наглядно представлено графически.

Основные распределения дискретной случайной величины.

Биномиальное: Случайная величина Х представляет собой число появлений события А в n независимых опытах и принимает целые неотрицательные значения. Вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли.

Параметры биномиального распределения .

Пуассоновское: Случайная величина Х принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2, 3 ...,n, где n достаточно большое число. Вероятность появления события в одном опыте p является достаточно малым числом. Однако, ограничено. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз, вычисляется по формуле Пуассона

Параметры распределения Пуассона .

Геометрическое: Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие наступает с вероятностью p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Вероятность появления события А не менее чем в m опытах, вычисляется по формуле

Параметры геометрического распределения .

Гипергеометрическое: Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из N элементов, среди которых М обладают определенным свойством. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из n элементов. Вероятность того, что в данной выборке окажется ровно m элементов, обладающих указанным свойством, вычисляется по формуле

Параметры гипергеометрического распределения

Непрерывная случайная величина принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно представить в виде функции распределения и плотности распределения.

Функция распределения – это универсальная форма закона распределения, так как она характеризует не только непрерывную случайную величину, но и дискретную тоже.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), которая для любого x равна вероятности события (X < x): .

Свойства функции распределения:

F(x) – неубывающая функция на ,
0 < F(x) < 1,
F( ) = 0,
F( ) = 1.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется производная от функции распределения: .

Свойства плотности распределения:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины на интервале равно: M(x) = дисперсия равна D(X) = . Дисперсию также можно вычислить по формуле:

Модой непрерывной случайной величины называется точка локального максимума функции плотности .

Корень уравнения называется медианой случайной величины.

Основные законы распределения непрерывной случайной величины:

Равномерное распределение задается плотностью распределения

Параметры равномерного распределения

Показательное распределение задается функцией плотности

Параметры показательного распределения M(X) = , D(X) =

Нормальное распределение задается функцией плотности

Параметры нормального распределения .

Статистическое распределение выборки. Характеристики вариационного ряда.

Для изучения случайной величины X производят ряд независимых опытов. В каждом из этих опытов случайная величина X принимает то или иное значение. Пусть она приняла n₁раз значение x₁, n₂ раз - значение x₂, ... n_kраз – значение x_k.

Значения x₁, x₂, ... x_k называются вариантами случайной величины X. Числа n_i, показывающие, сколько раз встречается варианта x_i в выборке, называются частотами, а называются относительными частотами. Число - это объем выборки.

Последовательность вариант, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом.

Перечень вариант и соответствующих им частот (и/или относительных частот) называется статистическим рядом или статистическим распределением выборки.

Статистический ряд может быть представлен в виде таблицы

x_i	x₁	x₂	x₃	...	x_k
n_i	n₁	n₂	n₃	...	n_k

Или графически в виде полигона частот - ломаной, соединяющей точки (x_i; n_i). В случае непрерывного признака распределения целесообразно строить гистограмму частот.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны (плотность частоты). Площадь гистограммы равна объему выборки n.

Числовые характеристики выборки:

1. выборочная средняя
2. выборочная дисперсия
3. выборочное среднее квадратическое отклонение
4. исправленная выборочная дисперсия
5. размах вариации	R = x_max – x_min
6. мода вариационного ряда	- варианта, имеющая наибольшую частоту
7. медиана вариационного ряда	- значение варианты, приходящейся на середину вариационного ряда

Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

Пусть изучается случайная величина X с математическим ожиданием М(X) и дисперсией D(X), оба эти параметра неизвестны.

Статистика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра, называется ее точечной оценкой. Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенность оценки означает отсутствие систематических погрешностей в наблюдаемых данных, для этого ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру.

Состоятельность оценки заключается в том, что с ростом числа наблюдений дисперсия стремится к нулю.

Для исследуемого параметра оценка эффективна, если имеет минимальную дисперсию среди всех возможных оценок, построенных по данной выборке.

Выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания М(X). Исправленная выборочная дисперсия S² является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D(X).

Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Интервальной оценкой служит симметричный относительно точечной оценки интервал. Если дана интервальная оценка , то точечная оценка определяется по интервальной как . Точность интервальной оценки определяется как .

Элементы корреляционного анализа. Проверка статистических гипотез.

Корреляционной зависимостью называют такую зависимость, при которой изменение одной из случайных величин влечет изменение средних значений другой случайной величины.

Основные задачи корреляционного анализа:

определение формы корреляционной связи,
оценка тесноты связи,
проверка значимости корреляционной связи.

При изучении зависимости между двумя величинами чаще других используется линейная регрессия. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид , где - коэффициент регрессии. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи изучаемых величин. Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает коэффициент корреляции . Коэффициент корреляции принадлежит промежутку [-1; 1] и его знак совпадает со знаком коэффициента регрессии.

Коэффициент корреляции можно найти по следующим формулам:

Статистической гипотезой Η₀ называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Η₁, которая противоречит основной гипотезе.

Правило проверки статистических параметрических гипотез.

Формулируют Η₀ и Η₁.
Назначают уровень значимости .
Выбирают статистику критерия K для проверки Η₀.
Определяют К_набл по выборке при условии, что Η₀ верна.
В зависимости от Η₁ определяют критическую область (левую, правую или двухстороннюю).
По таблице определяют значение К_кр.
Если К_набл > К_кр, то гипотезу Η₀ отвергают, если же К_набл < К_кр, то гипотеза Η₀ не противоречит наблюдаемым данным.

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины осуществляется с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. Критерий согласия Пирсона устанавливает, при уровне значимости , согласуется ли гипотеза с опытными данными.

где – эмпирические частоты, ; – теоретические частоты, .

Случайная величина V распределена по закону со степенями свободы , где S – число интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Из уравнения по соответствующим таблицам определяем . Если , то гипотезу Η₀ о том, что измеряемая величина распределена нормально, следует отбросить как несостоятельную. Если же , то гипотеза о нормальном распределении этой выборки не противоречит наблюдаемым данным.

Контрольные задания к разделу №5

Случайные события

1.1

Условие

Варианты

В вазе стоят 10 роз. Чему равно число способов: выбрать из вазы 3 розы?

Решение

Решение: Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3:

Правильный ответ б).

1.2

Условие

Варианты

Чему равно количество перестановок из букв слова “зачет“?

Решение

Число перестановок, так как буквы не повторяются, находится по формуле

P(5) = 5! = 1 2 3 4 5 = 120 . Правильный ответ а).

1.3

Условие

Варианты

Если словом считать любую комбинацию букв, то число слов, полученных перестановкой букв в слове РАМА, равно ….

Решение

Так как в слове РАМА буква А встречается два раза, а перестановка одинаковых букв не меняет слова, то число слов равно числу перестановок с повторениями: Р₄(1,2,1) = = 12. Правильный ответ г).

1.4

Условие

Варианты

Даны буквы М, Я, И, Л, Н, О. Какова вероятность составить слово ЛОМ?

1/4
1/20
1/120
1/12

Решение

Вероятность находим по классической формуле , где - число размещений из 6 элементов по 3 (нам важен порядок букв в слове ЛОМ), это общее число исходов, а число благоприятствующих исходов . Следовательно, , и Правильный ответ в).

1.5

Условие

Варианты

Из пункта А в пункт В можно проехать тремя дорогами. Из пункта В в пункт С можно проехать четырьмя дорогами. Число способов добраться из А в С через В равно?

Решение

Применяем правило умножения комбинаторики. Добраться из А в В можно тремя способами, а из В в С – четырьмя. Значит всего . Правильный ответ в).

1.6

Условие

Варианты

Игральная кость бросается один раз. Чему равна вероятность того, что на верхней грани выпадет два очка?

Решение

Применим классическую формулу вероятности . Здесь , потому что у игральной кости шесть граней и выпасть может любая из них, а , так как двойка там одна. . Правильный ответ а).

Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1

Условие

Варианты

Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность того, что на верхней грани выпадет не более 5 очков?

Решение

А- событие, что выпадет не более 5 очков, т.е. либо 5, либо 4, либо 3, либо 2 , либо 1 - событие, что выпадет шесть очков, вероятность Р( )= . Эти события противоположны, следовательно, Р(А)=1- ( )=1- . Правильный ответ г).

2.2

Условие

Варианты

Случайные события А и В удовлетворяют условиям Р(А)=0,3; Р(В)=0,4; Р(АВ)=0,1. Тогда они являются …

несовместными и независимыми,
несовместными и зависимыми,
совместными и независимыми,
совместными и зависимыми.

Решение

События являются совместными, так как дана вероятность их произведения Р(АВ) и зависимыми, так как , если бы они были независимы, то Р(АВ) = 0,12. Правильный ответ г).

2.3

Условие

Варианты

Несовместные события А, В, С не образуют полную группу, если их вероятности равны:

Р(А)=1/3, Р(В)=1/3, Р(С)=1/3,
Р(А)=1/6, Р(В)=1/3, Р(С)=1/2,
Р(А)=1/6, Р(В)=1/6, Р(С)=1/6.

Решение

Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна 1. События с вероятностями а) и б) образуют полную группу, так как сумма этих вероятностей равна 1. События с вероятностями в) не образуют полную группу. Правильный ответ в).

2.4

Условие

Варианты

Бросают две монеты. Событие А - герб на первой монете, событие В - цифра на второй монете. События А и В являются …

зависимыми,
несовместными,
независимыми,
совместными.

Решение

События А и В являются независимыми, так как появление одного не зависит от появления другого и совместными, так как события могут появиться вместе. Правильные ответы г) и в).

2.5

Условие

Варианты

Из урны, в которой 7 черных и 5 белых вынимается одновременно 2 шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

2/5
2/12
5/33
5/7

Решение

Всего шаров в урне 12. Вероятность вынуть первый раз белый шар (по классической формуле вероятности) равна . Вероятность второй раз вынуть белый шар является условной вероятностью и равна , так как всего шаров осталось 11 из них белых 4. Эти события совместны, поэтому вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей . Правильный ответ в).

2.6

Условие

Варианты

Вероятности банкротства двух предприятий соответственно равны: 0,1 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна?

0,015
0,15
0,25
0,765

Решение

События совместны и вероятность равна произведению вероятностей 0,1 0,15=0,015. Правильный ответ 1.

2.7

Условие

Варианты

По мишени производится 4 выстрела. Вероятности промаха при первом выстреле - 0,5, при втором - 0,3, при третьем - 0,2, при четвертом - 0,1. Вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна …

1
0,03
0,003
0,3

Решение

Вероятность равна произведению данных вероятностей:

Р=0,5 0,3 0,2 0,1=0,003. Правильный ответ в).

2.8

Условие

Варианты

Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого - 0,8, для второго - 0,75. Какова вероятность, что цель будет поражена?

0,6
0,15
0,25
0,95

Решение

Цель будет поражена, если удет хотя бы одно попадание, т. е.

Р=1–0,2 0,25=0,95. Правильный ответ г)

2.9

Условие

Варианты

Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого - 0,8, для второго - 0,75. Какова вероятность, что попадут оба стрелка?

Решение

Вероятность, что попадут оба, равна произведению данных вероятностей: р=0,8 0,75=0,6. Правильный ответ а).

2.10

Условие

Варианты

Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого - 0,8, для второго - 0,75. Какова вероятность, что попадет только один стрелок?

0,6
0,2
0,15
0,35

Решение

Вероятность попадания равна сумме вероятностей событий А={первый попал, второй не попал} и B={первый не попал, второй попал}, т. е. р=0,8 0,25+0,2 0,75=0,35. Правильный ответ г).

2.11

Условие

Варианты

В ящике 5 новых и 6 старых инструментов. Рабочему выдали сразу три инструмента. Какова вероятность, что рабочему выдали только новые инструменты?

3/11
2/33
5/11
4/33

Решение

Первый инструмент рабочий получил новый с вероятностью 5/11, второй инструмент новый - с вероятностью 4/10 и третий инструмент новый - с вероятностью 3/9. Вероятность того, что все три инструмента новые равна произведению этих вероятностей: р= = . Правильный ответ б).

2.12

Условие

Варианты

Два предприятия производят разнотипную продукцию. Вероятности их банкротства в течение года равны 0,2 и 0,3 соответственно. Тогда вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы одно предприятие, равна ….

0,06
0,2
0,94
0,44

Решение

Пусть событие А₁ – обанкротится первое предприятие, событие А₂ – обанкротится второе предприятие, - не обанкротится первое предприятие, - не обанкротится второе предприятие. События А – обанкротится хотя бы одно предприятие и противоположные, поэтому . Правильный ответ г).

2.13

Условие

Варианты

Элементы R_iработают независимо. A_i - событие, что элемент R_iне вышел из строя. Событие А – цепь не вышла из строя. Тогда А представимо:

А=А₁(А₂+А₃)
А=А₁+А₂+А₃
А=А₁ А₂ А₃
А=А₁+А₂ А₃

Решение

Цепь будет работать, если произойдет событие А=А₁А₂+А₁А₃=А₁(А₂+А₃) или событие А=А₁А₂А₃. Правильные ответы а) и в).

2.14

Условие

Варианты

Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга.

Вероятности безотказной работы элементов за время Т следующие:

Р(А₁)=0,6, Р(А₂)=0,8, Р(А₃)=0,7. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Т равна…

0,5
0,893
0,588
0,644

Решение

Система будет работать безотказно, если произойдет событие

А=А₁ ₂А₃+ А₂А₃+А₁А₂А₃. Вероятность такого события равна:

Р(А)=P(А₁ ₂P(А₃)+ А₂)P(А₃)+P(А₁)P(А₂)P(А₃)=

=0,6 0,2 0,7+0,4 0,8 0,7+0,6 0,8 0,7=0,644 Правильный ответ г).

2.15

Условие

Варианты

Устройство представляет собой соединение элементов S₁, S₂, S₃. К аждый из них может выйти из строя с вероятностью 0,12. Функционирование схемы нарушается, если все они выходят из строя. Чему равна вероятность правильной работы устройства?

0,12³
0,88³
1-0,12³
1-0,88³

Решение

Устройство будет работать правильно, если произойдет событие

А= ₁ ₂А₃+ ₂А₃+А₁А₂ ₃+ ₁ ₂А₃+ А₂ ₃+А₁ ₂ ₃+А₁ ₂ ₃. Вероятность такого события проще вычислить через вероятность противоположного события: . Правильный ответ в).

2.16

Условие

Варианты

У стройство представляет собой последовательное соединение элементов S₁, S₂, S₃. Которые могут выйти из строя с вероятностями 0,2, 0,4 и 0,05. При неисправности любого элемента функционирование схемы нарушается. Чему равна вероятность правильной работы устройства?

Решение

Устройство состоит из независимых элементов. Поэтому вероятность правильной работы устройства будет равна произведению вероятностей их безотказной работы . Правильный ответ в).

2.17

Условие

Варианты

Из урны, в которой находятся 12 белых и 10 черных шаров, вынимают наудачу один шар. Тогда вероятность того, что этот шар будет черным, равна…

1/22
1/2
5/11
1/10

Решение

Воспользуемся формулой P(A) = m/n , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. В нашем случае возможны n = 12 + 10 = 22 элементарных исхода испытания, из которых благоприятствующими являются m = 10. Следовательно, P(A) = 10/22 = 5/11. Правильный ответ в).

Формула полной вероятности. Формула Байеса

3.1

Условие

Варианты

Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместных событий В₁ и В₂, образующих полную группу событий . Р(В₁)=1/3, Р(A/В₁)=1/2, Р(A/В₂)=1/4. Чему равна вероятность события А?

Решение

События В₁ и В₂ образуют полную группу, следовательно Р(В₁)+Р(В₂)=1, значит +Р(В₂)=1, т.е. Р(В₂)= . Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

. Правильный ответ б).

3.2

Условие

Варианты

В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 5 белых и 15 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Какова вероятность, что он белый?

11/20
4/15
11/40
13/40

Решение

Вероятность выбора каждой урны равна . Условная вероятность, что белый шар будет взят из первой урны, равна , а условная вероятность, что белый шар будет взят из второй урны, равна . По формуле полной вероятности получаем: + = . Правильный ответ в).

3.3

Условие

Варианты

С первого станка на сборку поступило 30%, а со второго 70% всех деталей. Среди деталей первого станка 90% - стандартные, Среди деталей второго станка 70% - стандартные. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна?

0,76
0,84
0,63
0,21

Решение

Вероятность того, что деталь стандартна по формуле полной вероятности равна

р=0,3 0,9+0,7 0,7=0,76. Правильный ответ а).

3.4

Условие

Варианты

В ящике 20 деталей, изготовленных первым заводом и 30, изготовленных вторым заводом. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым заводом, отличного качества - 0,85, вторым заводом - 0,75. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченная деталь отличного качества?

0,81
0,79
0,63
0,5

Решение

В ящике всего деталей 50, вероятность, что деталь изготовлена первым заводом равна , а вторым заводом - . По формуле полной вероятности . Правильный ответ б).

3.5

Условие

Варианты

С первого станка на сборку поступило 45%, со второго - 55% всех деталей. Среди деталей первого станка 90% стандартных, второго - 80%. Тогда вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется не стандартной, равна….

0,845
0,15
0,155
0,325

Решение

Вероятность, что деталь с первого станка нестандартная 1–0,9=0,1. Вероятность того, что деталь со второго станка - 1–0,8=0,2. По формуле полной вероятности имеем: р=0,45 0,1+0,55 0,2=0,155. Правильный ответ в).

3.6

Условие

Варианты

В первом ящике 7 красных и 9 синих шаров, во втором 4 красных и 11 синих. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный, равна …

Решение

По формуле полной вероятности получаем: , где - вероятность выбора ящика, а и соответствующие условные вероятности. Правильный ответ в).

3.7

Условие

Варианты

В первой урне 6 черных и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 18 черных. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что шар извлечен из первой урны равна…

0,25
0,4
0,2
0,8

Решение

Событие В_i (i=1,2) - выбрана урна, событие А – извлечен белый шар. Р(В_i)= , условные вероятности , , тогда Условную вероятность того, что белый шар извлечен из первой урны найдем по формуле Байеса: ,

=0,8. Правильный ответ г).

3.8

Условие

Варианты

В первой урне 3 черных и 7 белых шаров, Во второй - 4 белых и 6 черных, в третьей урне 11 белых и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар.. Вероятность того, что этот шар белый…

11/40
9/20
11/20
11/15

Решение

Решается по формуле полной вероятности, аналогично задаче 20.

. Правильный ответ в).

Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения и их числовые характеристики

4.1

Условие

Варианты

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	4	8
Р	0,6	0,4

Чему равно математическое ожидание случайной величины Y=(1/4)Х+1?

Решение

Случайная величина Y распределена по закону	Y	2	3
	Р	0,6	0,4

M(Y)=2 0,6+3 0,4=2,4. Правильный ответ г).

4.2

Условие

Варианты

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

Х	-1	0	3
Р	0,1	0,3	0,6

тогда распределение случайной величины Y=3X имеет вид …

а)	Х	-1	0	3
	Р	0,3	0,9	1,8

б)	Х	3	0	9
	Р	0,1	0,3	0,6

в)	Х	-3	0	9
	Р	0,3	0,9	1,8

г)	Х	-3	0	9
	Р	0,1	0,3	0,6

Решение

Правильный ответ г).

4.3

Условие

Варианты

Даны дискретные случайные величины Х и Y

Х	-1	0	1		Х	0	1	2	3
Р	0,2	0,4	0,4		Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Чему равны математическое ожидание и дисперсия величины Y – X ?

M(Y-X) = 1,4, D(Y-X) =2,2
M(Y-X) = 1,6, D(Y-X) =2,2
M(Y-X) = 1,4, D(Y-X) =1,08
M(Y-X) = 1,8, D(Y-X) =1,08

Решение

Согласно определения числовых характеристик и их свойств получаем:

, . .

D(Y) = M ) – = (0² 0,3 + 1² 0,2 + 2² 0,1 + 3² 0,4) – (1,6)² = 1,64.

D(X) = M ) – = ((-1)² 0,2 + 0² 0,4 + 1² 0,4) – (0,2)² = 0,56.

D(Y-X) = D(Y) + D(Х) = 1,64 + 0,56 = 2,2. Правильный ответ а).

4.4

Условие

Варианты

Даны две независимые случайные величины X и Y.

Х	-1	0	1		Х	0	1	2	3
Р	0,2	0,4	0,4		Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Закон распределения величины X + Y имеет вид:

а)

Х+Y	4	5	6	7
Р	0,08	0,32	0,12	0,48

б)

Х+Y	1	2	3	5
Р	0,08	0,32	0,12	0,48

в)

Х+Y	4	5	6	7
Р	0,2	0,3	0,4	0,3

Решение

Возможные значения нужно сложить (x_i+ y_j , i = 1,2; j =1,2), а соответствующие вероятности перемножить. Правильный ответ а).

4.5

Условие

Варианты

Случайная величина X задана

Х	-1	0	3
Р	0,1	0,3	0,6

Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 3X равно ...

Решение

Правильный ответ в).

4.6

Условие

Варианты

Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х	1	2	4	5
Р	0,2	0,1	a	b

Тогда значения а и b могут быть равны ...

а =0,4, b =0,3
а =0,2, b =0,1
а =0,7, b =0,7
а =0,4, b =0,2

Решение

Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1 ,то а+b=1-0,1-0,2=0,7. Этому условию удовлетворяет ответ а).

4.7

Условие

Варианты

. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

Х 1 3 5

Р 0,1 0,3 0,6

Тогда ее функция распределения F(x) имеет вид….

Решение

По определению F(x) = Р(X<x). Тогда

а) при x ≤ 1, F(x) = Р(X<1) = 0 ,

б) F(x) = Р(X=1) = 0,1,

в) F(x) = Р(X=1) + Р(X=3) = 0,1 + 0,3 = 0,4,

г) F(x) = Р(X=1) + Р(X=3) + Р(X=5) = 0,1 + 0,3 + 0,6 = 1.

Правильный ответ в).

4.8

Условие

Варианты

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда вероятность Р(-0,5<X<1,5) равна….

Решение

Р(x₁<X<x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Тогда Р(-0,5<X<1,5) = F(1,5)-F(-0,5) = = . Правильный ответ а).

4.9

Условие

Варианты

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда значение С равно …

Решение

Согласно свойству плотности распределения вероятностей имеем

Тогда 1 , отсюда С = .

Правильный ответ а).

4.10

Условие

Варианты

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда вероятность Р(-1<X<3) равна…

Решение

Р(x₁<X<x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Тогда Р(-1<X<3) = Р(-1≤X<0)+Р(0 <X≤1)+Р(1<X≤3)=0+0,3+F(3)-F(1)=0+0,3+0,5-0,3 = 0,5. Правильный ответ г).

4.11

Условие

Варианты

График функции распределения имеет вид:

Тогда математическое ожидание случайной величины М(Х) равно….

Решение

Так как это график функции равномерного распределения, то M(X)= = =3. Правильный ответ г).

4.12

Условие

Варианты

График функции распределения имеет вид:

Тогда математическое ожидание случайной величины М(2Х+3) равно…

Решение

Так как это график функции равномерного распределения, то M(X) = = = . По свойствам математического ожидания

М(2Х+3) = 2 M(X) + 3 = 2 + 3 = 6. Правильный ответ в).

4.13

Условие

Варианты

Вероятность появления события А в 10 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,8. Чему равна дисперсия числа появлений этого события?

0,16,
1,6,
2 ,
8

Решение

Так как имеем биномиальное распределение, то D(X) = npg, , где n = 10, p = 0,8, g = 1-0,8 = 0,2 , следовательно, D(X) = npg= 10 0,8 0,2 = 1,6. Правильный ответ 2.

4.14

Условие

Варианты

Нормально распределенная случайная величина задана функцией плотности

f(x) = . Чему равно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение?

М(Х)=1, (X)=2,
М(Х)=2, (X)=2,
М(Х)=1, (X) =3,
М(Х)=2, (X) =3.

Решение

Плотность нормального распределения f(x) = , где

a =M(Х) = 2, = (X) = 3.

Статистическое распределение выборки. Характеристики вариационного ряда.

5.1

Условие

Варианты

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 70, полигон частот которой имеет вид

Тогда число вариант x_i= 1 в выборке равно….

8 ,
6,
7,
70 .

Решение

Сумма всех вариант равна n, т. е. n₁ + 33 + 20 +10 = 70, следовательно, n₁ = 33 + 20 +10 = 70 - 33 - 20 -10 = 7. Правильный ответ 3.

5.2

Условие

Варианты

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:

x_i 1 2 3 4

n_i 10 n₂8 7

Чему равно n₂?

25 ,
20,
7,
10 .

Решение

n₂ = 50-10-8-7 = 25. Правильный ответ 1.

5.3

Условие

Варианты

По выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Чему равно а?

16 ,
32,
15,
17 .

Решение

h = 2, ( ) h = 100. .

Имеем (4 +12 + 18 + а) 2 = 100, тогда 32, 16.

Правильный ответ 1.

5.4

Условие

Варианты

Статистическое распределение выборки имеет вид

x_i 2 3 7 10

n_i 4 7 5 4

Тогда относительная частота варианты x_i =2, равна….

0,4 ,
4,
0,1,
0,2 .

Решение

Объем выборки n = 4+7+5+4 = 20. Относительная частота равна:

. Для варианты x_i =2, = = 0,2. Правильный ответ 4.

5.5

Условие

Варианты

Мода вариационного ряда 1 , 2, 3, 4, 4, 6 равна…

Решение

Мода – наиболее часто встречающаяся варианта, т.е. равна 4. Правильный ответ 1.

5.6

Условие

Варианты

Мода вариационного ряда 1 , 2, 2, 3, 3, 3. 4, 6 равна…

Решение

Мода – наиболее часто встречающаяся варианта, т.е. равна 3. Правильный ответ 2.

5.7

Условие

Варианты

Размах вариационного ряда 1, 2, 3, 4, 7, 10 равен…

Решение

Размах вариационного ряда равен R_max - R_min = 10 -1 = 9.

Правильный ответ 2.

5.8

Условие

Варианты

Медиана вариационного ряда 2, 3, 3. 4, 5, 6, 7 равна …

3,
5,
4,
3,5.

Решение

Медиана вариационного ряда - это значение варианты приходящейся на середину вариационного ряда, если число вариант нечетное, то есть медиана равна 4 . Правильный ответ 3.

5.9

Условие

Варианты

Медиана вариационного ряда 2, 3, 3. 4, 6, 7, 7, 8 равна …

Решение

Медиана вариационного ряда - это значение варианты приходящейся на середину вариационного ряда, если число вариант четное, то медиана равна (4 +6)/2 = 10/2 = 5. Правильный ответ 2.

5.10

Условие

Варианты

Дана выборка объема n , каждый элемент выборки увеличивается в 5 раз, то выборочное среднее …

увеличится в 5 раз,
уменьшится в 5 раз,
не изменится,
увеличится в 25 раз.

Решение

Выборочное среднее равно = и, следовательно, увеличение каждой варианты выборки увеличивает выборочное среднее во столько же раз. Правильный ответ 1.

Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

6.1

Условие

Варианты

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 20:

x_i 3 3 6 8

n_i 2 47 7

Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…

4,
6,5,
6,
6,35.

Решение

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле: = то есть = = 6. Правильный ответ 3.

6.2

Условие

Варианты

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

x_i 2 4 7

n_i 5 32

Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…

4,
3,
6,
3,6.

Решение

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле: = то есть = = 3,6. Правильный ответ 4.

6.3

Условие

Варианты

В результате измерения некоторой физической одним прибором ( без систематических ошибок ) получены следующие результаты: 11 , 14, 14. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна….

13,
14,
11
12,5.

Решение

M(X) = = = 13. Правильный ответ 1.

6.4

Условие

Варианты

В результате измерения некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 11 , 14, 14. Тогда смещенная оценка дисперсии равна….

3,
2,
1,
2,5.

Решение

Смещенная оценка дисперсии, т. е. выборочная дисперсия вычисляется по формуле: . = 13, следовательно, = = = 2. Правильный ответ 2.

6.5

Условие

Варианты

В результате измерения некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 11 , 14, 14. Тогда несмещенная оценка дисперсии (исправленная дисперсия) равна….

3,
2,
1,
2,5.

Решение

Несмещенная оценка дисперсии, вычисляется по формуле:

S² = = ² = = = 3. Правильный ответ 1.

6.6

Условие

Варианты

В результате измерения некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8 , 10, 12. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна….

Решение

Несмещенная оценка дисперсии, вычисляется по формуле:

S² = = = ² = = = 4. Правильный ответ 4.

6.7

Условие

Варианты

Для выборки объема n = 10 вычислена выборочная дисперсия

=180. Тогда исправленная дисперсия S²для этой выборки равна….

324,
162,
200,
400.

Решение

S² = = = 200. Правильный ответ 3.

6.8

Условие

Варианты

Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид….

(11; 11,5) ,
(10,5; 11,5),
(10,5; 10,9),
(10,5; 11).

Решение

Интервальной оценкой служит симметричный относительной точечной оценки интервал. Таким интервалом является интервал (10,5; 11,5).

Правильный ответ 2.

6.9

Условие

Варианты

Точечная оценка параметра распределения равна 20. Тогда его интервальная оценка может иметь вид…

(19; 20),
(19; 21),
(0; 20),
(20; 21).

Решение

Интервальной оценкой служит симметричный относительной точечной оценки интервал. Таким интервалом является интервал (19; 21). Правильный ответ 2.

6.10

Условие

Варианты

Дана интервальная оценка (10,45 ; 11,55) математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…

1,1 ,
0,05,
0,55,
11,0.

Решение

Точность интервальной оценки (a; b) определяется как т.е. = 0,55. Правильный ответ 3.

6.11

Условие

Варианты

Дана интервальная оценка (9,5 ; 10,2) математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка равна…

10,
9,85,
9,55,
9.

Решение

Точечная оценка определяется по интервальной (a; b), как т.е.

= 9,85. Правильный ответ 2.

Элементы корреляционного анализа. Проверка статистических гипотез.

7.1

Условие

Варианты

Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y = 6 – 3x. Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…

-0,9,
-3,
6,
0,9.

Решение

Значение выборочного коэффициента корреляции должно принадлежать промежутку [-1; 1] и его знак должен совпадать со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этому условию удовлетворяет значение - 0,9. Правильный ответ 1.

7.2

Условие

Варианты

Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y = - 5 +2x. Тогда выборочный коэффициент регрессии равен…

2 ,
-5/2,
-5,
-2/5.

Решение

Если выборочное уравнение парной регрессии имеет вид

y = , то выборочный коэффициент регрессии равен , то есть =2.

Правильный ответ 1.

7.3

Условие

Варианты

Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид y = -3 +2x. Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен…

- 0,6 ,
-3,
0,6,
– 2.

Решение

7.4

Условие

Варианты

При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислен выборочный коэффициент корреляции r_в= 0,65 и выборочные средние квадратические отклонения и = 4. Тогда выборочный коэффициент регрессии Y на X равен…

0,6 ,
1,3,
3 ,
1.

Решение

Выборочный коэффициент регрессии Y на X равен:

= = = 2 0, 65 = 1,3. Правильный ответ 2.

7.5

Условие

Варианты

При построении уравнения парной регрессии , получены следующие результаты: r_в = 0,5, и = 1,2. Тогда коэффициент регрессии …

0,3
1,2
0,5
0,24

Решение

= = = 0,24. Правильный ответ 4.

7.6

Условие

Варианты

По данным измерений двух величин

x_i 9 10 12 5

y_i 6 47 3.

Найти выборочный коэффициент корреляции.

0,795,
0,936,
0,806,
0,597

Решение

, где .

М(X) = = = 9, М(Y) = = = 5,

= = т. е.

= - = 48,25 -45 = 3,25. , .

= = 6,5,

= = 2,5, Тогда = = 2,55, = = 1,58. = 0,806. Правильный ответ 3.

7.7

Условие

Варианты

Соотношение вида P(K < -1,88) + P(K > -1,88) = 0,05 может определить…

левостороннюю критическую область,
правостороннюю критическую область,
двустороннюю критическую область,
область принятия гипотезы

Решение

Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую соотношениями вида P(K < - k_кр) + P(K > - k_кр) = , где k_кр- положительное число, - уровень значимости.

7.8

Условие

Варианты

Основная гипотеза H₀ : = 4. Тогда конкурирующей может являться гипотеза…

H₁ : < 4,
H₁ : > 3,
H₁ : > 4,
H₁ : > 4, .

Решение

Конкурирующей ( альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию H₀ : = 4 противоречит

H₁ : > 4. Правильный ответ 3.

7.9

Условие

Варианты

Если основная гипотеза имеет вид H₀ : а = 20. То конкурирующей может быть гипотеза…

H₁ : а > 20,
H₁ : а = 21,
H₁ : а > 10,
H₁ : а < 19.

Решение

Противоречит основной гипотезе H₁ : а > 20. Правильный ответ 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
26.03.2016789 Кб22Lab1.doc
#
01.03.20252 Мб0ВКР_3.doc
#
03.12.2018706 Кб43задания с решением.docx
#
26.03.2016526 Кб38контр.работа №1 математика, варианты.doc
#
20.09.201952 Кб22мат часть 2.docx
#
01.03.20253 Мб5Математика МУ ФЭПО.docx
#
23.09.2019791 Кб14ответы на математику.docx
#
23.09.2019531 Кб35первый семестр - Труппова.docx
#
13.11.2019206 Кб18Практическое занятие 1 Элементы теории вероятно...doc
#
23.12.2018242 Кб33реферат по математике (2).doc
#
22.11.2019286 Кб14РУП-Математика.doc