Раздел 3. Дифференциальные уравнения

Тип уравнения

Вид уравнения

Особенность уравнения

Метод решения

Уравнения с разделяю-щимися перемен-ными

P₁(x)Q₁(y)dx+ P₂(x)Q₂(y)dy=0

Коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит от х, а другая только от у

однородное

P(x,у)dx+ Q(х, y)dy=0

P(x,у) и Q(х, y) –однородные функции одного порядка

линейное

Искомая функция у и её производная у^/ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой

подстановка

Бернулли

Тип уравнения

Метод решения

Порядок понижается путём последовательного интегрирования n раз

дискриминант

корни

Частное решение

Общее решение

D > 0

D = 0

D < 0

Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1

Какое из уравнений не является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

А)

В)

С)

D)

E)

Решение: линейное

1.2

Сколько общих решений имеет дифференциальное уравнение =у

А) 1

В) 2

С) 100

D) 72

Е) бесконечное множество

Решение: Бесконечное множество

1.3

Дано дифференциальное уравнение . Тогда его решением является функция

А) у=

В) у=

С) у=

D) у=

Решение:

1.4

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

А)

В)

С)

D)

Решение

1.5

Если у(х) – решение дифференциального уравнения ; при у(1)=1, то у(2) равно? Введите правильный ответ

Решение:

1.6

Если у(х) – решение дифференциального уравнения ;

при у(1)= - 1, то у(1,5) равно? Введите правильный ответ

Решение:

1.7

Дифференциальное уравнение -

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение: - линейное

- р(х)=

1.8

Дифференциальное уравнение

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение:

- разделяющимися переменными

1.9

Дифференциальное уравнение

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение

однородное

1.10

Дифференциальное уравнение

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение

р(х)=- 2х Бернулли

1.11

Среди дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются :

А)

В)

С)

D)

Решение:

В)

С)

1.12

Дифференциальное уравнение

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение:

Q(x,y)=

P(

P(x,у) и Q(х, y) –однородные функции одного порядка

1.13

Дифференциальное уравнение является

А) линейным неоднородным

В) Бернулли

С) однородным

D) уравнением с разделяющимися переменными

Решение:

С разделяющимися переменными

1.14

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

А)

В)

С)

D)

Решение: ,

1.15

Дифференциальное уравнение

А) дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами

В) Бернулли

С) линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами

D) уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными

Решение

,

, , Бернулли

1.16

Общий интеграл дифференциального уравнения ( -ху) =0 имеет вид

А) с

В)

С)

D) у=с

Решение

( -ху) =0 Применим подстановку

(

+С

1.17

Какое из уравнений не является дифференциальным?

А)

В)

С)

D)

E)

Решение:

1.18

Сколько частных решений имеет дифференциальное уравнение

=у+х

А) 1

В) 2

С) 100

D) 72

Е) бесконечное множество

Решение: Одно решение

1.19

Частный интеграл дифференциального уравнения для начального условия у(1) имеет вид

А) tg +

В) tg -

С) tg +

D) ctg +

Решение

Применим подстановку

+c = c c=

tg +

1.20

Функция у= является решением дифференциального уравнения

при k равном:

А) 0

В) 1

С) 2

D) 3

Решение

у= 2=3k-1 k=1

1.21

Функция у= является решением дифференциального уравнения

при k равном

А) 0

В) 1

С) 2

D) 3

Решение

у= 3=k+1 k=2

1.22

Д ано дифференциальное уравнение при у(1) =1.

Тогда интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид:

1 - C

2 - B

3 - A

4 – D

Решение

1.23

Д ано дифференциальное уравнение при у(1) =1. Тогда интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид:

1 - C

2 - B

3 - A

4 – D

Решение

y-c(x-2) c=-1 y=2-х

1.24

Из данных дифференциальных уравнений линейными неоднородными уравнениями первого порядка являются:

А)

В)

С) +1

D)

Решение

– линейное

1.25

Из данных дифференциальных уравнений уравнениями Бернулли являются:

А)

В)

С) +у³

D)

Решение Уравнение Бернулли имеет вид

,

1.26

Из данных дифференциальных уравнений уравнениями с разделяющимися переменными являются:

А)

В)

С)

D)

Решение: Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

P₁(x)Q₁(y)dx+ P₂(x)Q₂(y)dy=0

1.27

Из данных дифференциальных уравнений уравнениями с разделяющимися переменными являются:

А)

В)

С) +1

D)

Решение: Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

P₁(x)Q₁(y)dx+ P₂(x)Q₂(y)dy=0

Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1

Общее решение уравнения имеет вид

А)

В)

С)

D)

Решение

2.2

Общее решение уравнения имеет вид

А)

В)

С)

D)

Решение

2.3

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение Тогда его общее решение имеет вид:

А)

В)

С)

D)

Решение:

2.4

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение . Тогда его общее решение имеет вид:

А)

В)

С)

D)

Решение:

2.5

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение . Тогда его общее решение имеет вид:

А)

В)

С)

D)

Решение:

2.6

Если функция f(x) имеет вид: , то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде:

А)

В)

С)

D)

Решение:

=

2.7

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение общим видом частного решения является:

А)

В)

С)

D)

Решение:

2.8

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение

. Общим видом частного решения является:

А)

В) )

С)

D)

Решение:

2.9

Частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду его правой части соответствует функция

А)

В) С)

D)

Решение:

2.10

Установить соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения: 1)

2)

3)

А)

В)

С)

D)

Е)

Решение:

1)

2)

3)

2.11

Функция у= является общим решением линейного однородного уравнения. Тогда его характеристическое уравнение имеет вид

А)

В)

С)

D)

Решение: