7.1.1. Решение уравнения методом Крамера

Первый способ. Метод Крамера.

1. Для решения этим методом необходимо составить определители:

	10	55			25800	55			10	25800
d =				d0 =				d1 =
	55	385			145300	385			55	145300

2. Полученные определители необходимо решить и найти значение параметров d_i. В результате решения получим:

d = 10 * 385 - 55 * 55 = 3850 - 3025 = 825,

d₀ = 25800 * 385 – 145300 * 55 = 9933000 - 7991500 = 1941500;

d₁= 10^{* 145300} - 25800 * 55 = 1453000 – 1419000 = 34000.

3. На базе полученных значений проведем расчет коэффициентов уравнения по формулам

a₀ = d₀ / d - свободный член уравнений,

a₁ = d₁ / d - коэффицент угла наклона прямой.

Из данных выражений следует:

a₀ = d₀ / d = 1941500 / 825 = 2353,33

a₁ = d₁ / d = 34000 / 825 = 41,212,

4. Определяем вид уравнения регрессии, в соответствии с полученными значениями, форма записи уравнения регрессии примет окончательный вид:

y_t = 2353,33 + 41,212*t.

7.1.2. Решение уравнения методом Жордана-Гаусса

Второй способ. Метод Жордана-Гаусса ( модифицированный).

1. Для решения уравнения данным способом, перепишем систему уравнений для дальнейшего анализа

2. Необходимо избавиться от одного из параметров (неизвестное), для чего разделим все слагаемые 1-ого уравнения на коэффициент при а₀ , т.е на 10, а второе уравнение на 55 – также коэффициент при а₀ , тогда система уравнений примет следующий нормализованный вид:

2580 = a₀ + a₁ 5,5 (7.2)

2641,8 = a₀ + a₁ 7

3. Вычитаем, почленно, из второго уравнения первое, при этом, параметр а_о сокращается, и получим:

61,8 = a₁ *1.5.

откуда следует:

a₁ = 61,8 / 1,5 = 41,212

4. Для нахождения второго параметра (а₀) необходимо подставить в одно из уравнений (7.2) найденное значение a₁ = 41,212 (подставим в первое уравнение из системы нормализованных уравнений) и из него выразим a₀:

25800 = а_о + 41,212 * 5,5.

Откуда получим

a₀ = 2580 – 41,212 * 5,5 = 2580 - 226,7 = 2353,3.

5. Определяем вид уравнения регрессии. В соответствии с полученными значениями параметров, форма записи уравнения регрессии примет окончательный вид:

y_t = 2353,33 + 41,212*t.

Уравнение получено адекватным методу Крамера.

7.1.3. Решение уравнения в системе Excel

Третий способ. Расчет параметров уравнения связи в системе Excel.

Для автоматизированного расчета в среде Excel, используются инструменты функций «Статистические» в модуле «Мастер функций».

Для быстрого расчета в этой группе инструментов используются специальные функции «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН», которые задают вычисление коэффициентов а₀ и а₁ соответственно. Для этого необходимо.

1. Построить таблицу исследуемого ряда данных, ранжируя её хронологическим порядком.

2. Вызвать специальные функции «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» и провести расчет.

В системе Excel, есть и иная возможность получить полное уравнение регрессии, использую команду «Добавить линию тренда». Для этого необходимо выполнить следующие действия.

1. Построить таблицу исследуемого ряда данных, ранжируя её хронологическим порядком. Необходимо следить, чтобы первый ряд таблицы данных был параметр времени, второй – исследуемый показатель. Это необходимо для правильного и быстрого построения графика динамики процесса.

2. По исходным данным построить график динамики. Для этого используется тип графика – «Точечный» и следует выбрать вид графика – «Точечный с точками».

3. После построения графика динамики показателя, следует поместить маркер (мышку) на любую точку графика и нажать правую кнопку мышки. Диаграмма выделится (засветится) и выдаст окно с командами возможных действий.

4. В окне интерфейса (вкладке) необходимо выбрать команду «Добавить линию тренда».

5. В окне диалога команды следует определить вид моделируемой функции, задать параметры вывода функции и нажать «ОК».

6. На графике появляется график функции и параметры функции – уравнение (если оно задано во вкладке при задании команды «Параметры»).

На рис.7.2 приведен вид электронной таблицы, в которой проведен расчет параметров линейной регрессии по функциям «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН».

На рис.7.3 показана схема проведения расчета при помощи команды «Добавить линию тренда». На графике видна форма записи уравнения регрессии y = 2353,3 + 41,212*t , R² = 0,8982 - коэффициент детерминации

Рисунок 7.2. Электронная таблица расчета параметров уравнения линейной регрессии по функциям «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН»

Рисунок 7.3. Электронная таблица расчета параметров уравнения при помощи команды «Добавить линию тренда».

Рассмотрим возможности аппроксимации исходного ряда криволинейными зависимостями, которые также могут выражать тенденцию исследуемого процесса.