9.2. Выделение сезонной компоненты с помощью гармонического анализа
В некоторых случаях сглаживание временного ряда с помощью методов, которые мы рассмотрели ранее, нем дает удовлетворительного результата, так как в остатках наблюдается автокорреляция. Кроме этого, нередко в рядах динамики содержатся сезонные колебания, которые отражают наличие сезонной компоненты в ряду, и такие компоненты задают регулярную циклическую компоненту, влияющую на прогнозируемые величины. Такие регулярные циклические компоненты не могут быть выделены с помощью кривых роста. А отдельная тенденция без поправки на сезонность, дает значительную ошибку прогноза. В таких случаях, для выделения сезонной компоненты можно использовать методику гармонического анализа. Данный метод предполагает, что исходный временной ряд преобразуется в новый, который описывается уравнением Фурье.
В общем виде уравнение гармонической функции времени выглядит так
,
(9.1)
где а0, αi, βi – коэффициенты Фурье, которые находятся по методу наименьших квадратов. k – номер гармоники ряда, который чаще всего изменяется от 1 до 4, k < Т/2, Т – период колебаний.
Обычно гармонический анализ по ряду Фурье для сезонных колебаний проводится с периодом колебаний Т = 12. Таким образом, при выявлении сезонной компоненты, период колебаний удобно брать Т = 12 (в месяцах). И для упрощения функции Фурье, обычно переходят от исчисления периода Т в месяцах к исчислению периода в радианах. Для этого берут временной ряд внутригодовой динамики, уровни которых изменяются в соответствии с периодами в натуральных единицах (месяц) и переводят в радианы. Таблица перехода и соответствия периодов представлена в табл.9.1.
Таблица 9.1. Таблица соответствия и измерения времени
Время в месяцах |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Время в радианах |
0 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
уровни |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
у6 |
у7 |
у8 |
у9 |
у10 |
у11 |
у12 |
При переходе исчисления времени в месяцах к исчислению в радианах, обобщенная функция Фурье (9.1) будет выглядеть так
.
(9.2)
А коэффициенты Фурье а0, αi, βi можно определить из следующих отношений
(9.3)
При подборе функции Фурье исходят из критерия средней квадратической ошибки, которая может быть определена по формуле
Функция Фурье
будет подобрана правильно, если критерий
S
имеет наименьшее значение,
.
Так, например, первая гармоника Фурье, т.е. если ряд Фурье состоящий из одной первой гармоники, k =1, будет выглядеть следующим образом.
(9.4)
А параметры уравнения Фурье для первой гармоники определяются следующим образом
(9.5)
Если ряд Фурье состоит из двух гармоник k = 2, то функция будет выглядеть следующим образом
,
(9.6)
где дополнительные коэффициенты функции Фурье α2, β2 определяют так:
,
.
(3.7)
Используя гармоническое представление функции, мы выделяем из исследуемого ряда периодическую составляющую (представленную либо одной гармоникой, либо суммой нескольких гармоник), которая должна быть учтена наравне с систематической составляющей – трендом, при проведении процедуры прогнозирования.
При решении задачи выделения сезонной составляющей из динамического ряда, обычно используется следующая технология расчета.
1. На первом шаге проводится обоснование показателя, который характеризует исследуемый процесс и дается оценка выборки внутригодовой динамики результирующего показателя.
2. На втором шаге, по полученному динамическому ряду годовой динамики строим таблицу ряда и график динамики развития процесса.
3. На третьем шаге, по диаграмме динамики, определяем наличие сезонной составляющей в ряду, и если она присутствует, то оцениваем предварительное количество гармоник в ряду.
4. На четвертом шаге строим вспомогательную таблицу, вид которой зависит от количества гармоник в ряду. Пример расчетной таблицы, для двух гармоник приведен в табл.9.3.
Таблица.9.3. Структура расчетной таблицы для двух гармоник
T |
yt |
tpад |
cos t |
sin t |
y*cos t |
y*sin t |
у1 |
2*tpад |
cos 2t |
sin 2t |
y*cos 2t |
y*sin 2t |
у2 |
у(2) |
1 |
y1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
у2 |
0,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
у3 |
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
…. |
…. |
… |
|
|
. |
|
… |
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
…. |
…. |
… |
|
|
. |
|
… |
… |
|
|
… |
… |
12 |
у12 |
5,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. На пятом шаге определяются коэффициенты гармонической функции. Параметры уравнения Фурье для двух гармоник а0, α1, β1, α2, β2 , рассчитываются по выражениям ( 3.5, 3.7).
6. На шестом шаге, проводим расчет теоретических значений выделяемых гармоник функции. Значение у1 в графе табл. 9.3 определяется в соответствии с выражением первой гармоники
(9.8)
Значение у2 - рассчитывается по уравнению двух гармоник
(9.9)
7. На седьмом шаге можно посмотреть теоретически, как будет выглядеть отдельно вторая гармоника. Тогда для неё необходимо построить еще один столбец, с обозначением y(2), расчет которой проводится по выражению
.
(9.10)
8. На восьмом шаге строятся, на исходном ряде, диаграммы полученных гармонических функций по выражениям (9.8 - 9.10), отражающих сезонную компоненту.
9. Для функции двух гармоник (у2) можно провести прогноз исследуемого признака на следующие периоды, указывая прогнозное время для функции Фурье (9.9).
Рассмотрим пример решения задачи по выделению сезонной составляющей динамического ряда по внутригодовой динамике.
Пример. Дан ряд наблюдений за объемом продаж шипованной резины (млн.руб) для автомобилей типа «Лада» по Центральному району города Тольятти за 2009 год, в разбивке по месяцам. Динамический ряд объема продаж шипованных шин приведен в табл.9.4.
Таблица 9.4. Данные по объему продаж шипованной резины (млн.руб.)
t |
уt |
t |
уt |
t |
уt |
t |
уt |
1 квартал |
2 квартал |
3 квартал |
4 квартал |
||||
1 |
36,7 |
4 |
39,5 |
7 |
39,5 |
10 |
41,7 |
2 |
37,4 |
5 |
38,6 |
8 |
41,4 |
11 |
40,6 |
3 |
40,6 |
6 |
39,4 |
9 |
40,8 |
12 |
42,9 |
Построим график динамики продаж за год (рис.9.1)
Рисунок 9.1. График динамики продаж товара за год в месячной разбивке
Анализ данных показывает, что возможно во внутригодовой динамике имеется сезонная составляющая на фоне систематической тенденции, так как существует тенденция роста и колебания продаж Необходимо выделить сезонную компоненту и провести прогнозирование на 13 период, т.е. на январь месяц следующего года.
Рассчитаем и построим первую гармонику ряда Фурье, для чего проведем расчет в формате промежуточной расчетной таблицы (табл.9.3). Промежуточная таблица расчета данных для определения параметров первой гармоники ряда Фурье приведена в табл.9.4.
Таблица 9.4. Промежуточная таблица для расчета параметров первой гармоники ряда Фурье
Т |
yt |
tрад |
cos t |
sin t |
y*cоs |
y*sin |
y1 |
1 |
36,7 |
0 |
1 |
0 |
36,7 |
0 |
39,4941 |
2 |
37,4 |
0,523333 |
0,866158 |
0,49977 |
32,39431 |
18,6914 |
38,90257 |
3 |
40,6 |
1,046667 |
0,50046 |
0,86576 |
20,31866 |
35,14985 |
38,58473 |
4 |
39,5 |
1,57 |
0,000796 |
1 |
0,031455 |
39,49999 |
38,62566 |
5 |
38,6 |
2,093333 |
-0,49908 |
0,866556 |
-19,2645 |
33,44905 |
39,0144 |
6 |
39,4 |
2,616667 |
-0,86536 |
0,501149 |
-34,0952 |
19,74527 |
39,64689 |
7 |
39,5 |
3,14 |
-1 |
0,001593 |
-39,4999 |
0,06291 |
40,35383 |
8 |
41,4 |
3,663333 |
-0,86695 |
-0,49839 |
-35,8919 |
-20,6333 |
40,94598 |
9 |
40,8 |
4,186667 |
-0,50184 |
-0,86496 |
-20,475 |
-35,2904 |
41,26483 |
10 |
41,7 |
4,71 |
-0,00239 |
-1 |
-0,09962 |
-41,6999 |
41,22503 |
11 |
40,6 |
5,233333 |
0,497699 |
-0,86735 |
20,2066 |
-35,2144 |
40,83723 |
12 |
42,9 |
5,756667 |
0,864562 |
-0,50253 |
37,0897 |
-21,5584 |
40,20524 |
Сумма |
479,1 |
|
|
|
-2,5854 |
-7,79797 |
479,1005 |
Электронная таблица расчета параметров первой гармоники приведена на рис.9.2. и табл.9.5. Алгоритм расчета параметров 1 гармоники приводится в таблице на рис.9.3.
Рисунок 9.2. Электронная таблица расчета параметров первой гармоники
Рисунок 9.3. Электронная таблица алгоритма расчета параметров 1 гармоники
Таблица 9.5. ЭТ расчета параметров первой гармоники ряда Фурье
t |
y |
tpад |
cost |
sint |
y*cos |
y*sin |
y1 |
1 |
36,7 |
0 |
=COS(C2) |
=SIN(C2) |
=B2*D2 |
=B2*E2 |
=$B$18+$B$20*D2+$B$22*E2 |
2 |
37,4 |
=3,14/6 |
=COS(C3) |
=SIN(C3) |
=B3*D3 |
=B3*E3 |
=$B$18+$B$20*D3+$B$22*E3 |
3 |
40,6 |
=3,14/3 |
=COS(C4) |
=SIN(C4) |
=B4*D4 |
=B4*E4 |
=$B$18+$B$20*D4+$B$22*E4 |
4 |
39,5 |
=3,14/2 |
=COS(C5) |
=SIN(C5) |
=B5*D5 |
=B5*E5 |
=$B$18+$B$20*D5+$B$22*E5 |
5 |
38,6 |
=2*(3,14/3) |
=COS(C6) |
=SIN(C6) |
=B6*D6 |
=B6*E6 |
=$B$18+$B$20*D6+$B$22*E6 |
6 |
39,4 |
=5*(3,14/6) |
=COS(C7) |
=SIN(C7) |
=B7*D7 |
=B7*E7 |
=$B$18+$B$20*D7+$B$22*E7 |
7 |
39,5 |
=3,14 |
=COS(C8) |
=SIN(C8) |
=B8*D8 |
=B8*E8 |
=$B$18+$B$20*D8+$B$22*E8 |
8 |
41,4 |
=(7/6)*3,14 |
=COS(C9) |
=SIN(C9) |
=B9*D9 |
=B9*E9 |
=$B$18+$B$20*D9+$B$22*E9 |
9 |
40,8 |
=4/3*3,14 |
=COS(C10) |
=SIN(C10) |
=B10*D10 |
=B10*E10 |
=$B$18+$B$20*D10+$B$22*E10 |
10 |
41,7 |
=3/2*3,14 |
=COS(C11) |
=SIN(C11) |
=B11*D11 |
=B11*E11 |
=$B$18+$B$20*D11+$B$22*E11 |
11 |
40,6 |
=5/3*3,14 |
=COS(C12) |
=SIN(C12) |
=B12*D12 |
=B12*E12 |
=$B$18+$B$20*D12+$B$22*E12 |
12 |
42,9 |
=11/6*3,14 |
=COS(C13) |
=SIN(C13) |
=B13*D13 |
=B13*E13 |
=$B$18+$B$20*D13+$B$22*E13 |
13 |
|
=2*3,14 |
=COS(C14) |
=SIN(C14) |
|
|
=$B$18+$B$20*D14+$B$22*E14 |
|
=СУММ (B2:B13) |
|
=СУММ (D2:D13) |
=СУММ (E2:E13) |
=СУММ (F2:F13) |
=СУММ (G2:G13) |
=СУММ (H2:H14) |
На исходном ряде (диаграмма, рис.9.1) построим первую гармонику ряда Фурье (рис.9.4)
Рисунок 9.4. Исходный ряд и первая гармоника Фурье
Аппроксимация исходного ряда первой гармоникой, как видно по графику, весьма грубая, поэтому построим функцию из двух гармоник для выделения сезонной компоненты исходного ряда.
Для этого достроим исходную таблицу (табл.9.4) графами для расчета параметров второй гармоники и приведем расчет в табл.9.6.
T |
y |
tpад |
Cos t |
Sin t |
y*cos t |
y*sin t |
y1 |
2*tpад |
Cos 2t |
Sin 2t |
y*cos 2t |
y*sin 2t |
y2 |
1 |
36,7 |
0 |
1 |
0 |
36,7 |
0 |
39,494 |
0 |
1 |
0 |
36,7 |
0 |
38,665 |
2 |
37,4 |
0,523 |
0,866 |
0,499 |
32,394 |
18,691 |
38,902 |
1,047 |
0,500 |
0,866 |
18,717 |
32,379 |
38,343 |
3 |
40,6 |
1,047 |
0,501 |
0,866 |
20,319 |
35,150 |
38,584 |
2,093 |
-0,499 |
0,867 |
-20,267 |
35,182 |
38,854 |
4 |
39,5 |
1,57 |
0,001 |
1 |
0,0315 |
39,50 |
38,625 |
3,14 |
-1 |
0,002 |
-39,499 |
0,063 |
39,454 |
5 |
38,6 |
2,093 |
-0,499 |
0,867 |
-19,265 |
33,450 |
39,014 |
4,1867 |
-0,502 |
-0,865 |
-19,371 |
-33,388 |
39,574 |
6 |
39,4 |
2,617 |
-0,865 |
0,501 |
-34,095 |
19,745 |
39,647 |
5,233 |
0,498 |
-0,867 |
19,609 |
-34,174 |
39,378 |
7 |
39,5 |
3,14 |
-1 |
0,002 |
-39,50 |
0,063 |
40,354 |
6,28 |
1,0 |
-0,003 |
39,50 |
-0,126 |
39,525 |
8 |
41,4 |
3,663 |
-0,867 |
-0,498 |
-35,892 |
-20,633 |
40,946 |
7,327 |
0,503 |
0,864 |
20,833 |
35,776 |
40,385 |
9 |
40,8 |
4,186 |
-0,502 |
-0,864 |
-20,475 |
-35,290 |
41,265 |
8,373 |
-0,496 |
0,868 |
-20,250 |
35,420 |
41,533 |
10 |
41,7 |
4,71 |
-0,002 |
-1 |
-0,0996 |
-41,70 |
41,226 |
9,42 |
-1,0 |
0,005 |
-41,70 |
0,199 |
42,054 |
11 |
40,6 |
5,233 |
0,498 |
-0,867 |
20,207 |
-35,214 |
40,838 |
10,467 |
-0,506 |
-0,863 |
-20,486 |
-35,052 |
41,40 |
12 |
42,9 |
5,757 |
0,865 |
-0,503 |
37,09 |
-21,558 |
40,206 |
11,513 |
0,495 |
-0,869 |
21,233 |
-37,277 |
39,939 |
13 |
|
6,28 |
1,0 |
-0,003 |
|
|
39,498 |
12,56 |
1,0 |
-0,007 |
|
|
38,70 |
Сумма |
479,1 |
|
0,994 |
-0,002 |
-2,585 |
-7,798 |
518,6 |
81,64 |
0,994 |
-0,003 |
-4,977 |
-0,996 |
517,774 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 гармоника |
|
|
|
|
|
|
2 гармоника |
|
|
|
|
||
a0= |
39,925 |
|
|
|
|
|
|
α2 = |
-0,83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 = |
-0,431 |
|
|
|
|
|
|
β2 = |
-0,166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β1 = |
-1,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9.6. Таблица расчета параметров второй гармоники уравнения Фурье
На основании расчетов, уравнение Фурье в виде её первой гармоники, будет выглядеть
y = 39.925 – 0.431cos t – 1.3 sin t ,
прогноз на 13 период по нему составит у(t=13) = 39,498.
Выбираем уравнение Фурье , состоящего из двух гармоник, вид которого
y = 39.925 – 0.431cos t – 1.3 sin t – 0.83 cos 2t – 0.166 sin 2t,
прогноз на 13 период по нему составит у(t=13) = 38,7.
Электронная таблица расчета параметров двух гармоник (первой и второй) представлена на рис.9.5.
Рисунок 9.5. Электронная таблица расчета параметров первых двух гармоник
Проведем расчеты для получения параметров 3 и 4 гармоник и используем общую форму уравнения Фурье для четырех гармоник при прогнозировании значения продаж на 13 период. Расчеты приведены в табл. 9.7, где даны значений первой и второй гармоник и проводится вычисление параметров третьей и четвертой гармоник уравнения Фурье. Электронный вид таблицы расчетов дается на рис.9.6. На рис.9.7 приводится алгоритм расчета, представленный в виде формул расчета.
T |
y |
y1 |
y2 |
3*tpад |
cos3t |
sin3t |
y*cos3t |
y*sin3t |
yp3 |
4*tрад |
cos4t |
Sin4t |
y*cos4t |
y*sin4t |
yp4 |
1 |
36,7 |
39,49 |
38,66 |
0 |
1,00 |
0 |
36,7 |
0 |
39,123 |
0 |
1 |
0 |
36,7 |
0 |
39,321 |
2 |
37,4 |
38,90 |
38,34 |
1,57 |
0,001 |
1 |
0,030 |
37,40 |
39,074 |
2,093 |
-0,499 |
0,867 |
-18,666 |
32,409 |
39,552 |
3 |
40,6 |
38,58 |
38,85 |
3,14 |
-0,999 |
0,002 |
-40,60 |
0,065 |
40,726 |
4,187 |
-0,502 |
-0,865 |
-20,375 |
-35,117 |
40,901 |
4 |
39,5 |
38,63 |
39,45 |
4,71 |
-0,002 |
-1 |
-0,094 |
-39,50 |
40,778 |
6,28 |
1,0 |
-0,003 |
39,50 |
-0,126 |
39,324 |
5 |
38,6 |
39,01 |
39,57 |
6,28 |
0,999 |
-0,003 |
38,60 |
-0,123 |
39,125 |
8,373 |
-0,497 |
0,868 |
-19,158 |
33,510 |
39,549 |
6 |
39,4 |
39,65 |
39,38 |
7,85 |
0,004 |
0,999 |
0,157 |
39,40 |
39,071 |
10,467 |
-0,505 |
-0,863 |
-19,881 |
-34,016 |
40,901 |
7 |
39,5 |
40,35 |
39,52 |
9,42 |
-0,999 |
0,005 |
-39,50 |
0,189 |
40,723 |
12,56 |
1,0 |
-0,006 |
39,50 |
-0,252 |
39,326 |
8 |
41,4 |
40,945 |
40,38 |
10,99 |
-0,006 |
-0,999 |
-0,230 |
-41,40 |
40,780 |
14,653 |
-0,494 |
0,870 |
-20,43 |
36,006 |
39,546 |
9 |
40,8 |
41,27 |
41,53 |
12,56 |
0,999 |
-0,006 |
40,80 |
-0,260 |
39,128 |
16,747 |
-0,507 |
-0,862 |
-20,70 |
-35,159 |
40,902 |
10 |
41,7 |
41,23 |
42,05 |
14,13 |
0,007 |
0,999 |
0,299 |
41,699 |
39,068 |
18,84 |
1,0 |
-0,010 |
41,698 |
-0,398 |
39,329 |
11 |
40,6 |
40,84 |
41,40 |
15,7 |
-0,999 |
0,008 |
-40,60 |
0,323 |
40,720 |
20,933 |
-0,491 |
0,871 |
-19,926 |
35,374 |
39,543 |
12 |
42,9 |
40,21 |
39,94 |
17,27 |
-0,009 |
-0,999 |
-0,376 |
-42,90 |
40,783 |
23,027 |
-0,510 |
-0,860 |
-21,882 |
-36,90 |
40,902 |
13 |
|
|
|
18,84 |
0,999 |
-0,010 |
|
|
39,131 |
25,12 |
1,0 |
-0,013 |
|
|
39,331 |
Сум |
479,1 |
518,6 |
518,6 |
122,46 |
0,995 |
-0,005 |
-4,815 |
-5,105 |
518,23 |
163,28 |
0,996 |
-0,006 |
-3,622 |
-4,668 |
518,4285 |
Таблица 9.7- Таблица расчета параметров третьей и четвертой гармоник уравнения Фурье.
-
3 гармоника
4 гармоника
α3 =
-0,802
α4 =
-0,604
β3 =
-0,851
β4 =
-0,778
Рисунок 9.6. Электронная таблица расчета параметров 3 и 4 гармоник
Рисунок 9.7. Электронная таблица алгоритма расчета параметров гармоник (продолжение)
На основании расчетов параметров всех трех гармоник, уравнение Фурье в виде трех первых гармоник будет выглядеть
y = 39.925 – 0.431cos t – 1.3 sin t – 0.83 cos 2t – 0.166 sin 2t - 0,802 cos 3t – 03.851 sin 3t.
Прогноз на 13-й период по нему составит у(t=13) = 37,876.
Выбираем для расчета прогноза уравнение Фурье , состоящее из четырех гармоник, вид которого определяется выражением
y = 39.925 – 0.431cos t – 1.3 sin t – 0.83 cos 2t – 0.166 sin 2t - 0,802 cos 3t – 03.851 sin 3t – 0,604 cos 4t – 0.778 sin 4t,
и прогноз на 13-й период по полному уравнению составляет у(t=13) = 37,282.
Комплекс диаграмм, которые показывают проявление гармонической (сезонной) составляющей исследуемого ряда приведен на рис.9.8 – 9.9.
На рис.9.8 представлены две первых гармоники и сам исследуемый ряд. На диаграмме (рис.9.8) видно, что функция из четырех гармоник очень близко проходит около точек фактической диаграммы. Это говорит о значительной достоверности выделенной закономерности динамики с учетом сезонной компоненты.
Рисунок 9.8. Выявленные закономерности сезонного характера, отражающие первую гармонику и функцию из двух гармоник
Рисунок 9.9. Выявленные закономерности сезонного характера, отражающие разные типы гармоник (от 1 до четырех)
Рассчитаем достоверность полученных уравнений гармоники для всех видов ряда Фурье. Для расчета составим промежуточную таблицу (табл.9.8), в которой проводим расчет критерия S.
.
Таблица 9.8. Расчет среднеквадратической ошибки уравнения Фурье (1 гармоника)
Т |
y |
yр1 |
yp2 |
yp3 |
yp4 |
у - ур1 |
(у - ур1)^2 |
(у - ур4)^2 |
1 |
37 |
39,49 |
38,66 |
37,86 |
37,26 |
2,79 |
7,81 |
0,31 |
2 |
37 |
38,90 |
38,34 |
37,49 |
37,12 |
1,50 |
2,26 |
0,08 |
3 |
41 |
38,58 |
38,85 |
39,66 |
40,63 |
-2,02 |
4,06 |
0,00 |
4 |
40 |
38,62 |
39,45 |
40,31 |
39,71 |
-0,88 |
0,77 |
0,04 |
5 |
39 |
39,01 |
39,57 |
38,77 |
38,40 |
0,41 |
0,17 |
0,04 |
6 |
39 |
39,65 |
39,38 |
38,52 |
39,50 |
0,25 |
0,06 |
0,01 |
7 |
40 |
40,35 |
39,52 |
40,32 |
39,72 |
0,85 |
0,73 |
0,05 |
8 |
41 |
40,95 |
40,39 |
41,24 |
40,86 |
-0,45 |
0,21 |
0,29 |
9 |
41 |
41,27 |
41,53 |
40,74 |
41,71 |
0,47 |
0,22 |
0,83 |
10 |
42 |
41,23 |
42,05 |
41,20 |
40,60 |
-0,47 |
0,22 |
1,21 |
11 |
41 |
40,84 |
41,4 |
42,20 |
41,81 |
0,24 |
0,06 |
1,47 |
12 |
43 |
39,49 |
39,94 |
40,80 |
41,77 |
-2,69 |
7,26 |
1,27 |
Сумма |
|
23,818 |
5,6047 |
|||||
Среднее |
|
1,984827 |
0,467058 |
|||||
Корень |
|
1,4088 |
0,6834 |
|||||
Среднеквадратическая ошибка S = |
|
140,88% |
68,34% |
|||||
Для каждого уравнения гармоники рассчитаем ошибку S и проведем их сравнение по данному критерию. Для этого необходимо провести расчет и построить таблицы вычисления ошибки для каждого вида функции (для двух гармоник, для трех, для четырех). Таблица расчета ошибки для четвертой гармоники приведена в табл.9.8, графа [(у - ур4)^2].
Сравнительный анализ достоверности уравнений гармоник по ошибке S, приведен в табл.9.9.
Таблица 9.9. Таблица сравнения критерия
ошибки S для функций с различным числом гармоник
-
Вид функции
Фурье
Среднеквадратическая ошибка
Одна гармоника
140,88%
Две гармоники
128,60%
Три гармоники
98,44%
Четыре гармоники
68,34%
Таким образом, расчеты показали, что функция Фурье с четырьмя гармониками наиболее точно аппроксимирует исследуемый ряд, хотя значение ошибки и достаточно велико – 68,3%