30.11.2012 Подготовка к контрольной работе.

Задача1:

Маркетинговая служба фирмы, пускающая безалкогольные напитки, хочет определить наилучший вариант инвестиций в производстве новой марки лимонада. В качестве вариантов решений рассматриваются низкий – а1, средний – а2, высокий – а3 уровень инвестиций. В качестве состояний природы рассматривается ожидаемая доля рынка: S1 - <1%, S2 – от 1 до 4%, S3 - >4%. Соответствующие эффекты от капиталовложений задаются платежной матрицей:

	S1 P=0.2	S2 P=0.5	S3 P=0.3
А1	30	40	60
А2	-10	90	15
А3	-30	40	35

Если А1 – низкий уровень инвестиций, а состояние природы S1, то выигрыш 30 денежных единиц…

Найти оптимальное решение по критериям: максимин, максимакс, критерий Гурвица при α=0.8. по платежной матрице построить матрицу условных потерь и найти минимаксное решение на ее основе.

Пусть полученные экспертные оценки вероятностей ожидаемой доли рынка: P(S1)=0.2, P(S2)=0.5, P(S3)=0.3. определить в этом случае оптимальное решение по критерию максимума ожидаемого выигрыша и минимума ожидаемых условных потерь. Вычислить риски каждого решения (посчитать дисперсию, проранжировать).

Решение:

1. Находим для каждого решения наихудший результат, среди них наилучший.

Найти минимальные элементы в каждой строке, среди них выделить максимальный – максимин.

Критерий Гурвица – в каждой строке умножаем максимальный элемент на 0,8, а минимальный на 1-0,8 и складываем. По критерию Гурвица – А2.

30*0,2+60*0,8=54

-10*0,2+90*0,8=70

-30*0,2+40*0,8=26

Максимакс – 90 – А2.

2. Матрица условных потерь.

S1, А1 – потери 0,

S2, наилучшее решение А2- 0 потери, А1 – потеряем 90-40=50, А3- 90-40=50 .

S3. Наилучшее решение А1 – 60, А2 – недополучим 45, А3 – 25.

	S1 P=0.2	S2 P=0.5	S3 P=0.3
А1	0	50	0
А2	40=30-(-10)	0	45
А3	60=30-(-30)	50	25

2. Максимум ожидаемого выигрыша:

Ожидаемый выигрыш А1: Е[π(A1)]=30*0.2+40*0.5+60*0.3=44

E[π(A2)]=-10*0.2+90*0.5+15*0.3=47.5 – оптимальное решение по максимуму ожидаемого выигрыша

E[π(A3)]=-30*0.2+40*0.5+35*0.3=10.5

3. Минимум ожидаемых потерь

E[π(A1)]=0*0.2+50*0.5+0*0.3=25

E[π(A2)]=40*0.2+0*0.5+45*0.3=21.5

E(π(A3)]=60*0,2+50*0,5+25*0,3=44.7

4. Подсчет риска. Дисперсия

Обозначение – сигма.

Ω²=

Ω²(А1)=(30-44)²*0,2+(40-44)²*0,5+(60-44)²*0,3=124 - min

Ω²(А2)=(-10-47,5)²*0,2+(90-47,5)²*0,5+(15-47,5)²*0,3=867,125 - max

Ω²(А3)=(-30-24,5)²*0,2+(40-24,5)²*0,5+(35-24,5)²*0,3=594,05+120,125+33,075=747,25

Риск (А2)>риска(A3)>риска(A1)