2. Лінійні рівняння з однією змінною

Рівняння виду

a₁х + b₁ = а₂х + b₂, a₁, а₂, b₁, b₂, х  R (1)

називається лінійним рівнянням з однією змінною. На підставі наслідків теореми 1, перенесемо члени рівняння, що містять змінну, в ліву частину, а вільні члени (члени, що не містять змінної) – в праву і зведемо подібні члени. Одержимо рівняння

ах = b, (2)

яке рівносильне рівнянню (1).

Якщо а  0, то рівняння (2) називається рівнянням першого степеня з однією змінною.

Можливі випадки:

1) а  0, тоді за наслідком 4 з теореми 2 рівняння (2) буде рівносильне рівнянню

В цьому разі рівняння (2), а отже, і рівносильне йому рівняння (1), матиме один розв’язок

2) а = 0, b = 0, тоді рівняння (2) набере вигляду:

0  х = 0.

Будь-яке число буде його розв’язком, бо добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю. Отже, рівняння (2), а відтак, і рівняння (1) своїми розв’язками матиме будь-яке дійсне число, тобто х  R .

3) а = 0, b  0, тоді рівняння (2) набере вигляду:

0  х = bn.

Воно не має розв’язків, бо добуток будь-якого числа та нуля дорівнює нулю і ліва частина при жодному значенні змінної не може дорівнювати правій. Отже, х  ø.

Задача 6. Розв’язати рівняння

2х + 3 – 5х – 4 = х + 3+х – 7х.

Перенесемо члени, що містять змінну, в ліву частину рівняння, а вільні члени – в праву частину і зведемо подібні члени:

2х – 5х – х – х + 7х = 3 – 3 + 4  2х = 4 .

2  0, тоді, на основі наслідку 4 теореми 2, дістанемо, що х = 2.

Відповідь: х  {2}.

Програма початкової школи передбачає лише ознайомлення з поняттям рівняння з однією змінною та розв’язування окремих рівнянь способом підбору або на основі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

Задача 7. Розв’язати рівняння

14 – (5х + 10) : 3 = 4 (1)

на підставі залежності між компонентами і результатами арифметичних операцій.

1. Із зазначених у лівій частині рівняння (1) операцій останньою є віднімання. Змінна міститься у невідомому від’ємнику, який одержимо, коли від зменшуваного відняти різницю: 14 – 4 = 10. Отже,

(5х + 10) : 3=10. (2)

2. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (2) є ділення. Змінна знаходиться в невідомому діленому, яке дорівнює добутку частки і дільника: 10 – 3 = 3. Отже,

5х + 10 = 30. (3)

3. Останньою операцією у виразі лівої частини рівняння (3) є додавання. Змінна міститься у невідомому доданку, який дорівнює різниці суми і відомого доданка: 30 – 10 = 20, а тому маємо

5х = 20. (4)

4. У лівій частині рівняння (4) невідомим є один із множників, який дорівнює частці від ділення добутку на відомий множник:

х = 20 : 5 = 4.

Отже, х = 4.

Всі рівняння (2) – (4), які отримували при здійсненні перетворень, рівносильні даному на основі теорем 1 і 2, а тому знайдений розв’язок х = 4 останнього рівняння буде і розв’язком рівняння (1).

Відповідь: х  {4}.

3. Квадратні рівняння та їх розв’язування

Рівняння вигляду

ах² + bx + c = 0, a,b,c, x  R, a  0, (1)

називається квадратним. Якщо а = 1, то воно називається зведеним. Якщо хоч один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то рівняння називається неповним.

Щоб знайти розв’язки квадратного рівняння, здійснимо тотожні перетворення:

ах² +bх + с = 0  х² +

(2)

З одержаного рівняння видно, що його розв’язки залежать від виразу

b² – 4ас = D,

який називається дискримінантом квадратного рівняння.

1. Якщо D > 0, то з нього можна добути квадратний корінь, і рівняння (2) запишеться

що рівносильно сукупності рівнянь

Її розв’язками будуть числа

i (3)

які й будуть розв’язками квадратного рівняння (1).

2. Якщо D < 0, то – D > 0, і рівняння (2) можна переписати так:

в якому ліва частина при будь-якому числі х завжди буде додатним числом. Отже, рівняння (4), а отже, і рівносильне йому рівняння (1) розв’язків не мають.

З проведених міркувань випливає теорема.

Теорема 4. Квадратне рівняння

ах² +bx + c = 0, a,b,c,x  R, а  0,

має:

1. два дійсних корені, якщо D > 0,

2. один дійсний корінь, ящо D = 0,

3) не має дійсних коренів, якщо D < 0.

Корені рівняння (1) можна знайти за формулою

(5)

При D = 0 – x₁, = х₂ = , тобто корені рівні, тому і прийнято казати, що в цьому разі квадратне рівняння має один корінь.