2. Лінійні нерівності з однією змінною

Нерівність виду

а₁х + b₁ > a₂x + b₂, a₁, a₂, b_l, b₂, x  R (1)

називається лінійною нерівністю з однією змінною. Замість знаку ">" можна взяти один із знаків "<", "", "".

Для знаходження розв’язків лінійної нерівності з однією змінною скористаємося наслідками теореми 1 і перенесемо члени, що містять змінну, в ліву частину нерівності, а вільні члени – в праву частину та зведемо подібні члени. Дістанемо нерівність виду

ах > b, (2)

рівносильну нерівності (1).

Якщо а  0, то лінійна нерівність (2) називається нерівністю першого степеня.

При розв’язуванні нерівності (2) можливі випадки:

1) а > 0, тоді, за наслідком 3 з теореми 2, нерівність (2) буде рівносильною нерівності

а розв’язком якої, а отже, і заданої нерівності, будуть числа проміжку

2) а < 0, тоді, за наслідком 4 з теореми 3, нерівність (2) буде рівносильна нерівності

а розв’язками якої, а отже, і заданої нерівності, будуть числа проміжку

3) а = 0 і b < 0, тоді нерівність (2) матиме вигляд:

0  х > b,

її задовольняє будь-яке дійсне число, бо добуток нуля і довільного дійсного числа дорівнює нулю, який більший за будь-яке від’ємне число. Отже, в цьому разі нерівність має своєю множиною розв’язків множину дійсних чисел R.

4) а = 0 і b > 0, тоді нерівність (2) матиме вигляд:

0  х > b

і не матиме розв’язків, бо добуток нуля і довільного дійсного числа дорівнює нулю, який не є більшим за будь-яке невід’ємне дійсне число. Отже, нерівність (2) в цьому разі розв’язків не має.

Задача 2. Розв’язати нерівність

3х + 4 – 6х + 5 > 8x – 3 – 4x + 5.

Користуючись наслідками з теорем про рівносильність нерівностей, будемо мати

3х – 6х – 8х + 4х > –3 + 5 – 4 – 5  – 7x > –7  х <  х < 1.

Відповідь: x  ]–; 1[.

Програма початкової школи передбачає лише ознайомлення з поняттям нерівності з однією змінною, розв’язують їх шляхом підбору.

Задача 3. Знайти цілі невід’ємні розв’язки нерівності

2х < 7.

Для знаходження розв’язків даної нерівності скористаємося тим, що її ліву частину можна розглядати як добуток чисел 2 і х. Отже, потрібно знайти цілі невід’ємні числа, добуток яких з числом 2 менший 7. Такими числами є 0, 1, 2 і 3. Таким чином, дана нерівність на множині цілих невід’ємних чисел має чотири розв’язки: 0, 1, 2. 3.

Відповідь: х  {0,1,2,3}.

2. Сукупності та системи нерівностей з однією змінною

Оскільки нерівності з однією змінною є предикатами, то над ними можна виконувати всі операції логіки висловлень, зокрема диз’юнкцію і кон’юнкцію.

Диз’юнкція кількох нерівностей з однією змінною, які визначені на множині М, називається сукупністю нерівностей з однією змінною (позначається квадратною дужкою зліва). Кон’юнкція кількох нерівностей з однією змінною, що визначені на множині М, називається системою нерівностей з однією змінною (позначається фігурною дужкою зліва).

Поняття, що стосуються сукупностей і систем нерівностей з однією змінною, встановлюються на підставі властивостей диз’юнкції і кон’юнкції предикатів.

Область визначення сукупності (системи) нерівностей з однією змінною дорівнює перерізу областей визначення нерівності сукупності (системи). Множина розв’язків сукупності (системи) нерівностей з однією змінною дорівнює об’єднанню (перерізу) множин розв’язків кожної з нерівностей сукупності (системи).

Для знаходження множини розв’язків сукупності (системи) нерівностей з однією змінною потрібно розв’язати кожну з нерівностей, а потім знайти об’єднання (переріз) одержаних множин. Це й буде множина розв’язків сукупності (системи) нерівностей. Наприклад, множиною розв’язків сукупності нерівностей

буде множина R, бо перша нерівність має розв’язками проміжок [2; + [, а друга – проміжок ]– ; 7[; множиною розв’язків системи нерівностей

є проміжок [2; 7[.

Як при розв’язуванні рівнянь і нерівностей з однією змінною, так і при розв’язуванні сукупностей і систем нерівностей важливу роль відіграє поняття рівносильності. Поняття рівносильності розглянемо лише для систем нерівностей з однією змінною, для сукупності нерівностей всі твердження будуть аналогічними, тільки відповідно сформульованими.

Системи нерівностей з однією змінною, що визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо їх множини розв’язків збігаються. Якщо системи не мають розв’язків, то вони також вважаються рівносильними. Рівносильність систем нерівностей з однією змінною залежить від їх області визначення: зміна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, системи нерівностей

i

рівносильні на множині додатних дійсних чисел і нерівносильні на множині дійсних чисел, бо на множині R₊ множинами розв’язків є числовий проміжок ] 2; + [, а на множині R розв’язками першої системи є множина ]–; – 3[  ]2; + [, а другої –]–; –4[  ]2; + [.

Скориставшись теоремами про рівносильність нерівностей з однією змінною, неважко довести теорему.

Теорема 4. Якщо в системі нерівностей з однією змінною хоч одну з нерівностей замінити на їй рівносильну, то одержимо систему нерівностей, рівносильну заданій на її області визначення.

Задача 4. Розв’язати нерівність

Областю визначення нерівності будуть всі дійсні числа, що задовольняють умову 3х + 8  0. Зведемо нерівність до простішого вигляду, користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та наслідками з них:

Одержана нерівність, на основі залежності знаку частки від ділення двох довільних дійсних чисел, буде рівносильна сукупності систем нерівностей:

i

Щоб розв’язати сукупність систем нерівностей з однією змінною, потрібно розв’язати кожну нерівність системи, після цього знайти переріз множин розв’язків нерівностей кожної системи, а потім об’єднати множини розв’язків систем нерівностей. Одержана множина і буде множиною розв’язків даної сукупності систем нерівностей:

Для знаходження множини розв’язків першої системи сукупності зобразимо множину розв’язків кожної нерівності цієї системи на координатній прямій і знайдемо їх переріз (рис. 1).

Звідси одержуємо, що множина розв’язків першої системи порожня. Аналогічно діємо і при знаходженні множини розв’язків другої системи (рис. 2).

Одержуємо, що множиною розв’язків другої системи є числовий проміжок . Об’єднання знайдених множин буде числовим проміжком .

Відповідь: .

Задача 5. Розв’язати нерівність

4х² – 10х + 7 < 6х² – х + 2.

Областю визначення даної нерівності є множина дійсних чисел R. Користуючись теоремами про рівносильність нерівностей та наслідками з них, задану нерівність можна спростити:

4х² – 10х + 7 – 6х² + х – 2 < 0  –2х² – 9х + 5 < 0  2х² + 9х – 5 > 0.

Одержали квадратну нерівність. Розв’язування її зводиться до знаходження множини значень змінної х, при якій квадратний тричлен з додатним старшим коефіцієнтом (у даному разі коефіцієнт дорівнює 2) більший за нуль. Для цього знайдемо його дискримінант і корені, якщо вони існують:

D = b² – 4ас = 9² –42(–5) = 121 = 11², D > 0, а тому квадратний тричлен має два дійсних і різних корені

і

Як відомо, графіком квадратного тричлена є парабола, вітки якої спрямовані вгору, якщо старший коефіцієнт додатний, і яка перетинає вісь Ох у точках х₁ = – 5 і х₂ = . Накреслимо схематично графік квадратного тричлена (рис. 3) і за його допомогою знайдемо множину значень змінної х, при якій він розміщений над віссю Ох. Ця множина і становитиме множину розв’язків даної нерівності.

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання двох числових проміжків ]– ; – 5[ і ] ; + [.

Розв’язати нерівність

2х² + 9х – 5 > 0

можна також на підставі залежності знаку добутку двох довільних дійсних чисел від множників. Для цього розкладемо квадратний тричлен 2х² + + 9х – 5 на лінійні множники

2х² + 9х – 5 = 2(х + 5)(х – ) = (х + 5)(2х – 1).

Отже,

2х² + 9х – 5 > 0  (х + 5)(2х – 1) > 0.

Одержана нерівність буде рівносильна сукупності систем нерівностей

і

Знайдемо їх розв’язки:

Таким чином, сукупність систем нерівностей має множиною розв’язків об’єднання двох числових множин ]– ; – 5[ і ] ; + [.

Відповідь: х  ]– ; – 5[ і ] ; + [.