4. Нерівності з двома змінними

Поняття нерівності з однією змінною можна узагальнити на випадок нерівності з кількома змінними. Всі твердження для нерівності з однією змінною матимуть місце і для нерівностей з кількома змінними, тільки відповідно сформульовані. Розглянемо це на прикладі нерівності з двома змінними.

Нехай на множині М_х х М у задано два вирази f(х, у) і q(х, у) з двома змінними х і у. Предикати виду

f(х, у) < q(х, у), f(x,y) > q(x,y),

f(x,y)  q(x,y), f(x,y)  q(x,y), (x,y)  M_x x M_y,

для яких потрібно знайти області істинності, називаються нерівностями з двома змінними.

Областю визначення нерівності з двома змінними називається область визначення предиката, що її задає. Вона дорівнює декартовому добутку множин М_х і М_у, які є областями визначення змінних х і у відповідно.

Область істинності предиката, що задає нерівність з двома змінними, називається множиною розв’язків нерівності з двома змінними, а впорядкована пара чисел із цієї множини – її розв’язком. Розв’язати нерівність з двома змінними – це означає знайти множину її розв’язків. Знаходження її для нерівностей з двома змінними становить певні труднощі. Тому зручно користуватися геометричним методом, бо за допомогою нього її можна наочно зобразити. Розв’язки нерівності з двома змінними задають певну множину точок на координатній площині, яку визначають за допомогою рівняння, що отримується з даної нерівності заміною її знака на знак рівності. Встановлення цієї множини і становить суть геометричного (графічного) способу розв’язування нерівності з двома змінними. Точки графіка одержаного рівняння будуть належати множині розв’язків даної нерівності тільки тоді, коли вона нестрога. У цьому разі на координатній площині графік рівняння зображається суцільною лінією, в другому – пунктирною.

Розглянемо геометричний спосіб розв’язування нерівності на прикладі нерівності першого степеня з двома змінними виду

ax + by + c > 0, a, b, c  R,

де а і b одночасно не дорівнюють нулю.

Розв’язавши нерівність відносно однієї зі змінних, наприклад, у, якщо b  0, дістанемо нерівність

(1)

якщо b > 0, або

(2)

якщо b < 0. Рівняння

визначає на координатній площині пряму, яка ділить площину на дві півплощини: півплощину (І), розміщену вище від прямої, і півплощину (II), розміщену нижче, від прямої (рис. 4).

Геометрично множина всіх розв’язків нерівності (1) зобразиться множиною точок півплощини (І), а нерівності (2) – множиною точок півплощини (II).

Кажуть також, що нерівність (1) визначає півплощину (І), а нерівність (2) – півплощину (II).

Тема: числові функції

1. Числові функції та їх основні характеристики

Числові функції, або функції, є функціональними відношеннями у множині дійсних чисел (§ 5 п. 1) і предметом вивчення не тільки шкільного курсу математики, а й інших її розділів, бо більшість з них описує певні реальні процеси і за характером поведінки функції можна робити висновок про те, який вони мають вигляд.

Областями відправлення і прибуття функції є множина дійсних чисел або її підмножини.

Областю визначення функції f (позначається D(f), D_f або D) називається множина дійсних чисел із її області відправлення, що мають образи в області прибуття.

Областю значення функції (позначається E(f), E_f або Е) називається множина дійсних чисел із області прибуття, що є образами для елементів із області відправлення.

Функції позначаються х f(x), x  D або у = f(х), х  D, при цьому х називається незалежною змінною, або аргументом функції, а у – залежною змінною або значенням функції. Символ f(х) вживається для позначення функції і для її значень.

Функція вважається заданою, якщо відомі її область визначення і правило, за яким знаходяться образи елементів.

Всі способи задання відношень застосовні й до функцій. Найбільш вживаними з них є задання функції за допомогою характеристичної властивості та точкового графіка на координатній площині (за допомогою графіка). Часто характеристична властивість формулюється у вигляді виразу зі змінною, яка є аргументом функції, а значення виразу є значенням функції, причому таких виразів може бути кілька для різних підмножин області визначення. Наприклад,

якщо х<2

якщо 2х5

якщо х>5.

Область визначення виразу є областю визначення функції, якщо немає яких-небудь обмежень чи вказівок щодо неї. По-іншому спосіб задания функції у вигляді виразу зі змінною називається аналітичним. Він дає змогу знаходити точні значення функції при відповідних значеннях аргументу. Але про поведінку функції за її виразом робити висновок важко. Точковий графік дає уявлення про поведінку функції, але вже точне значення функції знайти важко. Тому при вивченні функцій користуються як аналітичним, так і графічним способами.

Графіком функції є лінія на координатній площині, кілька шматків ліній або ізольовані точки. Але не кожний точковий графік на площині задає певну функцію, а тільки той, який довільна пряма, перпендикулярна до вісі абсцис, перетинає не більш, як в одній точці.

Над функціями зі спільними областями визначення можна виконувати всі арифметичні операції. Аргументом функції може бути, в свою чергу, функція. Функції з такими аргументами називаються складними, або композиціями функцій. Наприклад, функція у = sin2t є композицією двох функцій: у = sin х і х = 2t.

Вивчення функцій зводиться, переважно, до з’ясування їх поведінки, тобто встановлення того, як залежить зміна функції від зміни аргументу. Для полегшення вивчення цього процесу серед функцій виділяють окремі види.

Функція f, визначена на множині D, називається обмеженою на цій множині, якщо існує додатне дійсне число а, при якому значення функції по модулю не перевищує а:

Графік обмеженої функції розміщений між двома прямими у = – а і у = а.

Функція f, визначена на множиш D, називається парною, якщо

і непарною, якщо

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а непарної – відносно початку координат, що дає змогу будувати тільки частину графіка, наприклад, тільки для області визначення з множини [0; +[, а потім продовжити його або симетрично відносно осі Оу, або відносно початку координат залежно від того, парна чи непарна функція.

Функція f, визначена на множині D, називається:

1) зростаючою, 2) спадною, 3) незростаючою, 4) неспадною на цій множині, якщо для будь-яких чисел х₁, х₂  D , при яких x₁ < x₂, істинною є відповідна нерівність:

1) f(х₁) < f(x₂); 2) f(x₁) > f(x₂);

3) f(х₁) < f(х₂); 4) f(x₁) > f(x₂).

Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні функції на множині називаються монотонними на ній.

Функція f, визначена на множині D, називається періодичною, якщо існує число w  0, при якому

Число w називається періодом функції. Якщо w – період функції, то числа kw, k  Z також є періодами функції. Для побудови графіка періодичної функції потрібно побудувати його на проміжку, рівному періоду функції, а потім повторити його на всій області визначення.

Функція, визначена на множині натуральних чисел N, називається послідовністю.