4. Розв’язування задач алгебраїчним методом

Навчаючи математики, велика увагу слід приділяти задачам, не кожна з яких може бути розв’язана арифметично або, якщо і розв’язується, то досить складно. Застосування ж рівнянь часто значно полегшує знаходження розв’язків задач. Метод розв’язування задач, що ґрунтується на використанні рівнянь, називається алгебраїчним.

При розв’язуванні задач алгебраїчним методом найчастіше змінними позначають числа, які потрібно знайти.

Задача 8. Розв’язати задачі алгебраїчним методом.

Відстань 36 км один із двох лижників пройшов на півгодини швидше, ніж другий. Швидкість першого лижника на 1 км/год більша, ніж другого. Визначити швидкість кожного лижника.

Швидкість другого лижника позначимо – х км/год, тоді (х + 1) км/год – швидкість першого лижника. Відстань 36 км перший лижник проходить за годин, а другий – за годин. Різниця в часі руху другого і першого лижників дорівнює , а за умовою задачі вона становить півгодини. Отже, маємо рівняння

в якому, згідно з умовою задачі, х > 0.

Для знаходження розв’язків рівняння виконаємо над ним перетворення

72х + 72 – 72х = х² + х  х² +х – 72 = 0.

Одержали квадратне рівняння, коренями якого є дійсні числа – 9 і 8. Оскільки х > 0, то корінь рівняння – 9 не буде розв’язком задачі. Таким чином, швидкість другого лижника – 8 км/год, а першого – 8 +1=9 км/год.

Відповідь: 9 км/год, 8 км/год.

2. Басейн наповнюється двома трубами за 6 год. Перша труба може наповнити весь басейн на 5 год швидше, ніж друга. За який час може наповнити басейн кожна труба окремо?

^ Об’єм басейну приймемо за 1 частину. Час, за який басейн наповнить перша труба, позначимо через х год, тоді (х + 5) год – час, за який басейн наповнить друга труба. За 1 год перша труба заповнить частину басейну, а друга труба – частину басейну. Разом за одну годину дві труби заповнять – частину басейну, що дорівнює його частині, бо з умови задачі відомо, що басейн наповнюється обома трубами за 6 год. Значить, можна скласти рівняння

в якому, згідно з умовою задачі, х > 0.

Здійснивши перетворення над рівнянням, дістанемо

6х + 30 + 6х = х² + 5х  х² – 7х – 30 = 0.

Квадратне рівняння, яке отримали, своїми коренями має дійсні числа – 3 і 10. Зважаючи, що х > 0, число – 3 не може бути розв’язком задачі. Отже, час, за який басейн наповнить перши труба, дорівнює 10 год, а друга труба – 10 + 5=15 год.

Відповідь: 10 год, 15 год.

5. Рівняння з двома змінними

Поняття рівняння з однією змінною можна узагальнити на випадок рівняння з кількома змінними. Всі твердження для рівнянь з однією змінною матимуть місце і для рівнянь з кількома змінними, лише відповідно сформульовані. Розглянемо це на прикладі рівнянь з двома змінними.

Нехай на множині М =М^х х М задано два вирази f(x,y) і q(x,y) з двома змінними. Предикат

f(x,у) = q(x, у), (х,у)  М,

для якого потрібно знайти область істинності, називається рівнянням з двома змінними.

Областю визначення рівняння з двома змінними називається область визначення предиката, що задає рівняння. Вона дорівнює перерізу областей визначення виразів f(x,y) і q(x,y).

Множиною розв’язків рівняння з двома змінними називається область істинності предиката, що задає рівняння, а кожна впорядкована пара з цієї множини – його розв’язком. Розв’язати рівняння з двома змінними – це означає знайти множину його розв’язків.

Якщо в рівнянні з двома змінними всі коефіцієнти членів, що містять змінні, і вільний член дорівнюють нулю, то довільна пара дійсних чисел буде його розв’язком. Якщо ж всі коефіцієнти членів, що містять змінні, рівні нулю, а вільний член відмінний від нуля, то таке рівняння не має розв’язків. Тому розглядаються рівняння, в яких хоч один із коефіцієнтів членів, що містять змінні, відмінний від нуля. Для одержання розв’язків такого рівняння одній із змінних, наприклад, у, надають довільне значення у₀ з множини M_y, отримують рівняння з однією змінною х. Розв’язують його. Кожне знайдене значення х₀, якщо воно існує, змінної х разом зі значенням у₀ становлять розв’язок даного рівняння з двома змінними. Оскільки значення однієї зі змінних вибиралось довільно, то в більшості випадків рівняння з двома змінними має безліч розв’язків, причому одна з його компонент вибирається довільно. Наприклад, рівняння

х² – у =0

має безліч розв’язків виду ( , а) або (– , а), де а > 0; рівняння

х²+у² =0

має єдиний розв’язок (0; 0); а рівняння

х² + y²=–1

не має розв’язків.

Кожному розв’язку рівняння з двома змінними на координатній площині відповідає одна і тільки одна точка, координати якої збігаються з розв’язком. Множина всіх таких точок називається точковим графіком (коротше графіком) рівняння з двома змінними. В більшості випадків графіком рівняння з двома змінними є лінія на координатній площині.

Поняття лінії є неозначуваним у нашому курсі. Уявлення про неї можна одержати, розглядаючи, наприклад, довільно зігнутий шматок дроту. В математиці лінію розглядають як множину точок площини (простору), що мають певну, спільну для всіх цих точок, властивість. Знайомство з окремими видами ліній, таких, наприклад, як пряма, коло, парабола, еліпс тощо, передбачено шкільним курсом математики.

Рівняння з двома змінними називається рівнянням лінії на координатній площині, якщо:

1. кожний розв’язок рівняння є координатою точки лінії;

2. координати кожної точки лінії є розв’язком рівняння.

Рівняння лінії може бути складним, і задати його буває важко, але воно дає змогу встановлювати по його розв’язках властивості лінії, тобто вивчення геометричних властивостей лінії здійснювати алгебраїчними методами.

Практично розв’язуються дві задачі: спочатку за деякою однією геометричною властивістю лінії знаходять її рівняння, а потім за допомогою цього рівняння вивчають інші властивості даної лінії. Будувати лінію іноді зручніше на основі її геометричних властивостей, а іноді – за допомогою рівняння.

Розглянемо на прикладі кола, як виводиться рівняння лінії.

Колом із заданими центром у точці С і радіусом r називається множина точок площини, відстань яких від точки С площини дорівнює числу r (позначається K[С; r]).

На площині задамо довільну прямокутну систему координат О х у. Коло К[С; r]) може бути розміщене довільно відносно системи координат. Нехай точка С(а,b) – його центр і М(х, у) – довільна точка кола у вибраній системі координат, рис. 1.

Тоді СМ = r. За формулою відстані між двома точками на координатній площині знайдемо

або

(1)

Оскільки r > 0 і , то рівняння (1) буде рівносильне рівнянню

(x – a)²+(y – b)²=r². (2)

Отже, якщо точка М(х, у) лежить на колі К , то її координати є розв’язком рівняння (2).

Навпаки, нехай (х₀у₀) – будь-який розв’язок рівняння (2), тобто

(x₀ – a)²+(y₀ – b)²=r².

Звідси одержуємо, що

а це означає, що відстань від точки М (х₀, у₀) до точки С(а, b) дорівнює r. Тому точка М (х₀, у₀) лежить на колі К . Таким чином, має місце теорема.

Теорема 5. У прямокутній системі координат хОу рівняння кола радіусом r і з центром в точці С(а, b) може бути записане у вигляді

(x – a)²+(y – b)²=r². (2)

Зокрема, коло з центром у початку координат має рівняння

х²+у²=r².

Рівняння (2) називається зведеним (канонічним) рівнянням кола. Якщо в ньому розкрити дужки, то одержимо рівняння другого степеня з двома змінними, яке називається загальним рівнянням кола.

Але не кожне рівняння другого степеня з двома змінними є рівнянням кола на площині. Так, рівняння у = х² визначає лінію, яка називається квадратною параболою.

Задача 9. Довести, що рівняння

х² +у² + 4х – 8у + 11 =0

є рівнянням кола. Знайти його центр і радіус.

Щоб довести, що дане рівняння є рівнянням кола, потрібно звести його до канонічного вигляду. Для цього в лівій частині рівняння виділимо повні квадрати

х² + у² + 4х – 8y +11 =

= (х² + 22х + 4) + (y² – 24y + 16) – 4 – 16 + 11 =

= (x + 2)² + (y – 4)² – 9.

Отже,

(х + 2)² + (y – 4)² – 9 = 0 або (х + 2)² + (y – 4)²=3².

А це і є канонічним рівнянням кола з радіусом 3 і центром (–2 ; 4), рис. 2.

До найпростіших ліній на площині належить пряма, яка задається рівнянням першого степеня з двома змінними:

ax + by = c, a, b, c, x, y  R,

де а і b одночасно не дорівнюють нулю, тобто а² + b²  0.