§ 2.5. Графоаналитический метод определения равнодействующей плоской системы сил

В точке О приложены силы F₁ = 30 Н, F₂ = 60 Н. Угол между векторами сил α = 75⁰. Требуется определить равнодействующую и углы между равнодействующей и составляющими векторами γ и β.

Для получения точных результатов сложение векторов производится графоаналитическим способом.

Сложение векторов производится в следующей последовательности:

• выполняется рисунок параллелограмма не в масштабе, но с примерным сохранением соотношений между длинами и углами (рис.11);

• модуль равнодействующей определяется при помощи теоремы косинусов по формуле:

и – модули векторов, и  - угол между их направлениями.

Рис.2.7

• Направление вектора равнодействующей R относительно заданных векторов F₁, F₂,

т. е. один из углов γ или  определяются при помощи теоремы синусов (рис.11):

Частные случаи:

• Угол между направлениями сил F₁ и F₂ равен нулю, α = 0. Cosα = 1, то есть силы приложены в одной точке и направлены в одну и ту же сторону.

R = F₁ + F₂.

• Угол между направлениями сил F₁ и F₂ значения косинуса при α > 90⁰ до 270⁰ имеет отрицательные значения.

• Угол между направлениями сил F₁ и F₂ равен α =90⁰,

Cos 90⁰ = 0. - равнодействующая двух взаимно перпендикулярных сил (диагональ квадрата или прямоугольника).

Практическая работа 2. Графоаналитический метод определения

равнодействующей

Рис.2.8

1. Определение равнодействующей R₁₂ (рис.2.9):

Угол между силами F₁ и F₂ угол τ равен :

τ = 180⁰ – (α₁ + α₂) = 180⁰- 30⁰ – 45⁰ = 105⁰.

Cos 105⁰ = - 0,259 (рис.2.9,а).

2. Определение угла β между равнодействующей R₁₂ и силой F₂ (рис.2.9, б).

Сумма углов параллелограмма АВБО равняется 360⁰, противоположные углы в параллелограмме равны между собой.

 АОБ =ВОБ= γ = (360⁰ - 2·105⁰) : 2 = 75⁰.

• Угол  (БОВ) между равнодействующей R₁₂ и силой F₂ определяются при помощи теоремы синусов (рис.13):

Рис.2.9. а) определение равнодействующей R₁₂ сил F₁ и F₂ по правилу параллелограмма,

б) определение равнодействующей R₁₂₃ сил R₁₂ и F₃ по правилу параллелограмма;

в) определение равнодействующей R₁₂₃ сил F₁, F₂, F₃ по правилу силового многоугольника.

3. Определение равнодействующей R₁₂₃:

Угол  между R₁₂ и осью У равен:  = 90⁰ – 45⁰ - 29⁰ = 16⁰.

Угол между силами R₁₂ и силой F₃: φ = 29⁰ + 105⁰ = 134⁰

Cos 134⁰ = -0,695

4. Определение угла λ между равнодействующей R₁₂₃ и силой F₃ (рис.2.9, б).

Сумма углов параллелограмма ОВДС равняется 360⁰, противоположные углы равны между собой. λ = (360⁰ - 2·134):2 = 46⁰.

§ 2.6. Аналитический (метод проекций) метод определения равнодействующей плоской системы сил

Проекция вектора на ось – величина алгебраическая, т.е. она имеет положительный или отрицательный знак.

Проекцию вектора считают положительной, если она совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной, если она имеет противоположное направление. Обычно осями проекций служат две взаимно перпендикулярные оси координат. Взаимно перпендикулярные оси координат могут быть расположены на плоскости под любым углом к горизонту.

В еличины проекций силы на оси могут быть определены из треугольника АВС (рис.13). Здесь величина отрезка АС ~ ab, выражает в масштабе модуль проекции силы на ось ОХ, соответственно величина отрезка АВ, проекция на ось ОУ~a׳b׳. Поэтому проекция вектора на ось Х равна модулю этого вектора, умноженному на косинус угла между векторами и положительным направлением оси Х:

Fх = F Cos .

Проекции вектора силы на ось Y, определяется произведением модуля силы на синус угла между вектором и положительным направлением оси У:

Fy = F Sin .

По проекциям вектора на две оси координат можно найти модуль вектора (рис.2.10):

Рис.2.10

Так как проекция равнодействующей силы равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на эту ось.

Равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна корню квадратному из суммы квадратов проекций этой равнодействующей на оси координат.

Рис.2.11

Практическая работа 3. Аналитический метод определения равнодействующей (метод проекций)

Пример 6. На тело в точке О (рис.16) действуют силы F₁ = 50 кН; F₂ = 100 кН;

F₃.= 150 кН. α ₁= 30⁰; α₂ = 45⁰; α₃ = 60⁰ (условие практической работы №1).

Требуется определить равнодействующую R аналитическим методом и углы между равнодействующей и осями ОХ и ОУ.

Рис.2.12

1. Определяем проекцию равнодействующей на ось Х (рис.2.13).

R_X= F_1X – F_2X - F_3X = F₁· cos 30⁰- F₂ ·cos 45⁰- F₃ cos 60⁰ =

=50·0,866 - 100·0,707 - 150·0,5 = = 43,3- 50 - 70,7 – 75 = -102,4 кH.

R_Y= F_1Y + F_2Y - F_3Y = F₁ sin 30⁰ + F₂ sin 45⁰ - F₃ sin 60⁰ =

= 50·0,5 +100·0,707 - 150·0,866 = 25 + 70,7 - 129,9 = -34,2 кH.

Рис.2.13

Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Если данная плоская система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая R такой системы равна нулю, а значит, и проекции равнодействующей на оси координат равны нулю:

R_X= ∑F_X= 0. R_Y= ∑F_Y= 0.

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей равнялась нулю.