7.2.1 Первая теорема подобия

была сформулирована Ньютоном. Согласно этой теореме, при подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы, т. е. подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Покажем это на примере движения тел, описываемого общим законом механики, – вторым законом Ньютона:

Выделим в двух подобных системах (натуре и модели) две частицы, движущиеся подобно. Пусть в натуре на частицу массой действует сила , сообщая ей ускорение ; в модели сходственная частица массой под действием силы приобретает ускорение

По второму закону Ньютона

и

При подобном движении частиц для сходственных точек натуры и-, модели константы подобия выражаются отношениями

Следствием подобия этих переменных является подобие сил:

Отношение сил, обусловливающих движение частиц, должно быть равно отношению возникающих при этом инерционных сил. Значит

Или

Как отмечалось выше, отношения приращений величин, входящих в константы подобия, можно заменить отношениями самих величин, т. е. знаки дифференциалов могут быть отброшены. Таким образом

Или

Откуда

7-7

Величину С, составленную из констант подобия, называют индикатором подобия.

Заменяя в выражении (7-7) константы подобия отношениями соответствующих величин и перенося в левую часть все величины для натуры, а в правую – для модели, находим

Таким образом, получен безразмерный комплекс величин, значения которого одинаковы для сходственных точек обеих систем. Этот комплекс называют критерием Ньютона и обозначают

7-8

или, учитывая, что

7-8

Как видно из приведенного подобного преобразования, критерий Ньютона характеризует отношение действующей на частицу силы к силе инерции. Это означает, что критерий Ньютона (как и любой инвариант подобия) выражает величину действующей на частицу силы в относительных единицах, причем за масштаб силы принята сила инерции.

Как будет показано ниже, ряд критериев гидродинамического подобия отражает соотношения между действующими в потоке силами, а имение между силами тяжести, давления, трения, и силой инерции. Таким образом, эти критерии представляют собой, по существу, частные случаи критерия Ньютона.

На основании выражения (7-7) первая теорема подобия может быть сформулирована также следующим образом: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Аналогично тому, как было найдено выражение критерия Ньютона, можно путем подобного преобразования соответствующих дифференциальных уравнений получить выражения других критериев подобия. Проследим последовательность такой операции на примере подобного преобразования второго закона Ньютона.

1. Зная дифференциальное уравнение, , описывающее данный класс явлений, формулируют подобие условий однозначности для группы подобных явлений, т. е. задают константы подобия, выражающие отношения физических величин, входящих в это уравнение,– k_f (для сил), k_m (для масс), k_w (для скоростей) и k_τ (для времен).

2. Каждую величину, входящую в дифференциальное уравнение, умножают на соответствующую константу подобия и выносят константы, как постоянные величины, за знак дифференциала:

3. Исходное и преобразованное таким образом уравнения могут быть тождественны лишь при условии, что индикаторы подобия равны единице. В данном случае это условие имеет вид

Заменяют масштабные множители в индикаторе подобия отношениями соответствующих величин и находят критерии подобия:

или

откуда

Такая последовательность действий для получения критериев подобия применима при подобном преобразовании любых дифференциальных уравнений.

Однако возможен также формально другой и обычно более простой способ подобного преобразования дифференциальных уравнений: критерии подобия находят, деля одну часть уравнения на другую и отбрасывая знаки математических операторов.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.