7.2.2 Вторая теорема подобия
была доказана Бэкингемом, Федерманом и Афанасьевой-Эренфест. Согласно этой теореме, решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т. е. между критериями подобия.
Если обозначить критерии подобия через
,
то решение дифференциального уравнения
может быть представлено в общем виде:
|
7-9 |
Такие уравнения называют уравнениями в обобщенных переменных (обобщенными), или критериальными уравнениями.
Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими. Критерии же, включающие также величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемыми. Какой из критериев является определяемым, зависит от формулировки задачи.
Например, в случае движения жидкостей
по трубам, если заданы форма трубы (т.
е. отношение длины ее к диаметру),
физические свойства жидкости (вязкость,
плотность) и распределение скоростей
у входа в трубу и у ее стенок (т.е.
начальные и граничные условия), то
совокупность этих условий однозначно
определяет скорость в любой точке трубы
и перепад давлений (напора) между любыми
ее двумя точками. При такой формулировке
задачи, когда находится перепад давлений,
критерий гидродинамического подобия,
в который, кроме условий однозначности,
входит величина
,
зависящая от них, будет определяемым.
Из критериального уравнения, представляющего собой функциональную зависимость между критериями подобия, рассчитав предварительно значения определяющих критериев, находят значение определяемого критерия, а из него – значение интересующей нас величины. Таким образом, если определяемым является некоторый критерий π1; то уравнение (7-9) удобнее представлять в виде
|
7-9а |
Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведенных на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.
7.2.3 Третья теорема подобия
или теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяющих критериев подобия. Значит, третья теорема подобия может быть сформулирована и так: явления подобны, если их определяющие критерии численно равны.
Следствием равенства определяющих критериев, согласно уравнению (7-9а), является равенство определяемых критериев для модели и натуры. Поэтому зависимость типа уравнения (I7-9а), полученная обобщением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива (в тех же пределах изменения определяющих критериев) для всех подобных процессов, в том числе для натуры.
Таким образом, исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:
1. Получив полное математическое описание процесса, т. е. составив дифференциальное уравнение и установив условия однозначности, проводят подобное преобразование этого уравнения и находят критерии подобия.
2. Опытным путем на моделях устанавливает конкретный вид зависимости между критериями подобия, причем полученное обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследованных пределах изменения определяющих критериев подобия.