3. Сложение матриц

Эта операция, как и последующие, является двухместной. Кроме того, имеются условия, которым должны удовлетворять размеры матриц, участвующих в операции.

Результатом сложения двух матриц одинакового размера mn является матрица того же размера, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

C_mn =A_mn + B_mn [c_ij]_mn =[_ij+b_ij]_mn

Пример 4.3.

Пусть

_.

Тогда _,

а сложение матриц A и C невозможно из-за различия их размеров. 

4. Вычитание матриц

Эта операция определяется аналогично операции сложения матриц.

Результатом вычитания двух матриц одинакового размера mn является матрица того же размера, все элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц-слагаемых.

C_mn =A_mn - B_mn [c_ij]_mn =[_ij - b_ij]_mn

Очевидно, что C =A – B=A+(-1)B.

5. Умножение матриц

Обязательным условием возможности умножения двух прямоугольных матриц является равенство числа столбцов в первом сомножителе числу строк во втором сомножителе. Следствием этого условия является возможность умножения квадратных матриц друг друга только при совпадении их порядка.

Результатом умножения матрицы A размера mk на матрицу B размера kn является матрица C размера mn, каждый элемент которой c_ij равен сумме всех попарных произведений элементов, стоящих на одинаковых местах в i-ой строке матрицы A и j-ом столбце матрицы B.

C_mn =A_mkB_kn

Определение проясняет необходимость ограничения на размеры матриц сомножителей: получая попарные произведения элементов, стоящих на одинаковом l-ом месте в i-ой строке матрицы A и j-ом столбце матрицы B, мы требуем, чтобы любому элементу i-ой строки соответствовал парный ему элемент в j-ом столбце и наоборот, для каждого элемента j-го столбца существовал парный ему элемент в i-ой строке. Алгоритм вычисления элемента c_ij матрицы-произведения иллюстрируется схемой, показанной на рис. 4.1.

Пример 4.4.

Пусть

_.

Тогда умножение матрицы A на матрицу B невозможно, так как в A три строки, а столбцов в B – два.

Мы видим, что умножение матриц не только не всегда возможно, но даже, если и возможно, то не всегда коммутативно.

Рис.4.1. Схема получения элемента матрицы-произведения

Роль единицы, умножение на которую не меняет любой числовой сомножитель, в матричной алгебре играет единичная матрица соответствующего порядка.

A_mnE_n=E_mA_mn=A_mn

Пример 4.5.



Операции над матрицами, если они допустимы, обладают следующими свойствами, аналогичными свойствам соответствующих операций над числами. Доказательство первых пяти из них очевидно следует из определения операций. Доказательство шестого свойства не приводится в силу его громоздкости, хотя также получается непосредственно из определения умножения матриц.

1. A+B= B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. (A+B)= A+B

4. A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC

5. (AB) = (A)B = A(B)

6. A(B C)=(AB)C

В то же время имеется принципиальное отличие умножения матриц от умножения чисел: оно не коммутативно.

7. В общем случае ABBA

4.4. Определители квадратных матриц

При проведении многих вычислений, связанных с квадратными матрицами, важную роль играет их числовая характеристика, получившая названия определителя. Эта характеристика действительно «определяет» многие важные свойства матриц и математических преобразований, записывающихся с их помощью. В общем случае определитель квадратной матрицы произвольного размера вычисляется как составленная по определенным правилам алгебраическая сумма произведений ее элементов. Причем, в каждом произведении имеется ровно один элемент из каждой строки (и из каждого столбца) матрицы и, таким образом, содержится n сомножителей, где n – размер матрицы. Число слагаемых в определителе равно n! (n – факториал, произведение всех натуральных чисел от 1 до n). Мы приведем конструктивные способы вычисления определителей.

Если A – квадратная матрица порядка n, то ее определитель обозначается det(A) или A. Определитель матрицы записывается также в виде таблицы чисел – элементов матрицы, но эта таблица, в отличие от матрицы, помещается не в круглые скобки, а в прямые отрезки.

Если n =1, то есть матрица состоит всего из одного элемента, то ее определитель равен этому элементу: A=₁₁=₁₁

Если n =2, то определитель матрицы равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях:

Формула вычисления матрицы второго порядка иллюстрируется схемой, показанной на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Схема вычисления определителя второго порядка

Пример 4.6.

Вычисление определителя матрицы третьего порядка проводится по нижеприведенной формуле и иллюстрируется рис. 4.3.

Рис. 4.3. Схема вычисления определителя третьего порядка

Произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в треугольниках с параллельной ей стороной, входят в алгебраическую сумму, которой равен определитель, со знаком «плюс», а произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в треугольниках с параллельной ей стороной, – со знаком «минус».

Пример 4.7.



Для описания правил вычисления определителей большего порядка нужно ввести дополнительные определения.

Минором M_ij элемента a_ij матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из A вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца.

Пример 4.8.



Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы A n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, определяемым по правилу шахматной доски (рис. 4.4)

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

- + - + - +

Рис. 4.4. Правило определения знаков алгебраических дополнений.

Пример 4.9.



Для вычисления определителей любого размера можно использовать способ, называющийся разложением определителя по строке (или столбцу).

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4.10.

Для упрощения вычислений целесообразно производить разложение определителя по той строке или столбцу, в которой содержится наибольшее число нулей. В нашем примере можно сделать разложение по первой строке.



Разлагая последовательно определитель (и получающиеся в процессе разложения алгебраические дополнения) диагональной или нижней треугольной матрицы по первой строке можно легко показать, что он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Разлагая последовательно определитель верхней треугольной матрицы по первому столбцу, получим, что он также равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 4.11.

