5. Линейные векторные пространства

5.1. Основные понятия

Мы видели, что при решении систем линейных уравнений в матричном виде использовались вектор-столбец неизвестных x и вектор-столбец свободных членов уравнений b. Векторы-столбцы (и векторы-строки) можно рассматривать как элементы некоторых множеств, на которых определены алгебраические операции, обладающие рядом свойств, облегчающих их выполнение. Такие пространства получили название линейных векторных пространств. Они являются частным случаем линейных пространств, элементами которых могут быть, например, функции. Оказывается, что ряд свойств математических объектов, знакомых нам по школьной математике, выполняется и для более сложных объектов, некоторые же свойства обобщаются и служат основой для дальнейшего развития теории, в рамках которой известные вам свойства чисел и числовых функций оказываются частным случаем более общих утверждений.

Матрица A размера n1 (или 1n, если исполь­зуются векторы-строки) называется n-мерным вектором.

Мы будем использовать в качестве векторов векторы-столбцы.

Обозначение Пример

Поскольку векторы одинакового размера являются частными случаями матриц, то с ними можно выполнять операции умножения на число и сложения, которые обладают, как указывалось ранее, рядом свойств, среди которых,

1. A+B= B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. (A+B)= A+B

и другие.

Оказывается, что требуя выполнения этих и ряда других свойств, можно определить весьма широко используемую математическую структуру.

Множество R векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие нижеприведенным свойствам, называется линейным (векторным) пространством.

1. x+y=y+x

2. (x+y)+z=x+(y+z)

3. (x+y)= x+y

4. (+)x = x + x

5. ( x) = ()x

6. Существование нулевого вектора 0 x +0=0+ x = x

7. Существование для любого вектора x противоположного (-x) , такого, что (-x)+ x = x +(-x)=0

8. Умножение на единицу 1 x=x

В вышеприведенных формулах и далее x, y, и z – векторы, ,  и  – числа, нулевой вектор 0, в отличие от числа 0, выделяется жирным шрифтом. Отметим, что в определении линейного пространства ничего не говорится о структуре самих векторов, в частности, не требуется, чтобы это были вектор-строка или вектор-столбец.

5.2. Линейная независимость векторов

Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Если все _i равны 0, то линейная комбинация называется тривиальной, в противном случае (существует отличное от нуля _i ) – нетривиальной.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0.

Система векторов называется линейно независимой, если 0 может быть равна только тривиальная линейная комбинация этих векторов.

Таким образом, если векторное равенство

= 0,

рассматриваемое как система уравнений относительно коэффициентов ₁, , _k линейной комбинации, дает единственное решение

,

то система векторов является линейно независимой. В противном случае эта система векторов будет линейно зависимой.

Пример 5.1.

Выяснить линейную зависимость векторов

= 0

Таким образом, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору лишь при нулеых значениях всех коэффициентов их линейной комбинации. Следовательно векторы линейно независимы. 