5.3. Размерность и базис линейного пространства

Линейное пространство R имеет размерность n (или называется n-мерным), если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов будут линейно зависимы.

Теорема

Пусть векторы линейно независимы, а векторы линейно зависимы. Тогда вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов .

Доказательство

Так как векторы линейно зависимы, существует набор , в котором некоторые не равны 0, а . Если , то должен быть отличен от нуля по крайней мере один из коэффициентов . А это невозможно, поскольку в силу линейной независимости векторов равенство справедливо лишь когда все равны 0. Следовательно . Тогда .

То есть, если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства R называется базисом этого пространства.

Как следует из вышедоказанной теоремы, каждый вектор x пространства R имеет единственное представление в виде линейной комбинации векторов базиса. И наоборот, если любой вектор x пространства R можно представить в виде линейной комбинации линейно независимых векторов , то пространство R имеет размерность n, а совокупность является его базисом.

Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где векторы

образуют так называемый естественный (исходный) базис.

Мы убедились, что пространство трехмерных векторов имеет размерность три. Справедливо и общее утверждение: пространство n-мерных векторов имеет размерность n.

П

ример 5.2.

Векторы

как было проверено в предыдущем примере, являются линейно независимыми. Выразить произвольный трехмерный вектор y как линейную комбинацию векторов ?

Допустим, что y выражается в виде линейной комбинации этих векторов.

Тогда каждый элемент этого вектора должен быть равен соответствующему элементу линейной комбинации, стоящей в правой части последнего равенства.

Эту систему можно рассматривать как систему уравнений с неизвестными , выражающимися через . Найдем решение этой системы.

Подставляя числовые значения , мы получим значения коэффициентов .

_{Пусть . Тогда .}

/

В силу вышесказанного можно считать, что векторы образуют новый базис трехмерного пространства R, поэтому мы переобозначим их:



Пусть – базис пространства R, а вектор x представлен в виде линейной комбинации базисных векторов . Тогда вектор называется представлением вектора x в базисе , а его компоненты – координатами вектора x в этом базисе.

_{Пример 5.3.}

Найти координаты вектора в базисе

Как следует из предыдущего примера

_{Следовательно,}



Обобщим вышеизложенное на случай n-мерного пространства. Беря в качестве новых базисных векторов совокупность линейно независимых векторов , т.е. считая, что

,

выразим новые базисные векторы в исходном базисе

Можно сказать, что новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

столбцы которой образуются из коэффициентов разложений новых базисных векторов по старому базису.

Выясним связь между координатами одного и того же вектора в старом и новом базисе. Пусть и в то же время

Подставляя в последнее равенство вместо их представление в исходном базисе и приравнивая коэффициенты разложения по векторам в левой и правой части равенства, получим систему уравнений

или

В матрице А коэффициенты разложений новых базисных векторов по старому базису записываются по строкам. Умножая последнее равенство слева на обратную к А матрицу, получим выражение для нахождения координат вектора x в новом базисе через его координаты в старом базисе.

.

Другими словами для нахождения координат вектора x в новом базисе необходимо решить вышеприведенную систему линейных уравнений.