Алгоритм методу пошуку Хука-Дживса

Крок 1. Визначити:

Початкову точку ,

Приріст , і = 1,2,3…N,

Коефіцієнт зменшення кроку ,

Критерій закінчення пошуку .

Крок 2. Провести досліджуючий пошук.

Крок 3. Чи був досліджуючий пошук вдалим (Чи знайдена точка з меншим значенням цільової функції)?

Так: перейти до кроку 5.

Ні: продовжувати.

Крок 4. Перевірка на закінчення пошуку.

Чи виконується нерівність ?

Так: припинити пошук ; знайдена точка апроксимує точку оптимуму Х*.

Ні: зменшити приріст по формулі

і = 1,2,3…N,

Перейти до кроку 2.

Крок 5. Провести пошук за оригіналом:

Крок 6. Провести досліджуючий пошук, використовуючи в якості базової точки; нехай отримана в результаті точка.

Крок 7. Чи виконується нерівність ?

Так: продовжити = , ( = )

Перейти до кроку 5.

Ні: перейти до кроку 4.

Приклад пошуку методом Хука-Дживса

Знайти точку мінімуму функції:

Використовуючи початкову точку .

Рішення. Для того щоб використати метод Хука-Дживса, необхідно задатися наступними величинами:

- векторна величина приросту =

- коефіцієнт зменшення кроку = 2.

- параметр закінчення пошуку =

Ітерації починаються з досліджуючого пошуку навколо точки , якій відповідає значення функції =272. Фіксуючи дамо приріст змінній :

=-4;

Успіх.

Необхідно зафіксувати і дати приріст змінній

=-3;

Успіх.

Таким чином в результаті досліджую чого пошуку знайдена точка

Оскільки досліджуючий пошук був вдалим, переходимо до пошуку по оригіналу:

Далі проводиться досліджуючий пошук навколо точки , який являється вдалим при використанні додатного приросту змінних і . В результаті отримуємо точку .

Оскільки , пошук необхідно вважати вдалим, і стає новою базовою точкою при наступному проведенні пошуку по оригіналу. Ітерації продовжуються, поки зменшення величини кроку не вкаже на закінчення пошуку в околі точки мінімуму .

З прикладу слідує, що метод Хука-Дживса характеризується нескладною стратегією пошуку, відносною простотою обчислень, та невисоким рівнем потреб до об’єму пам’яті ЕВМ, який виявляється навіть нижчим, ніж у випадку використання методу пошуку по симплексу. Завдяки цьому, алгоритм Хука-Дживса знаходить широке використання у всіх областях інженерної практики; особливо ефективні його варіанти з використанням штрафних функцій. Але необхідно відмітити, що основним на циклічному русі по координатам алгоритм в ряді випадків може закінчувати роботу раніше, а при наявності значних нелінійних ефектів з’являється в послідовності досліджуючи пошуків без переходу до прискорюючого пошуку по оригіналу.

Приклад 1.3. Розв’язок задачі оптимального параметричного синтезу регулятора методом Хука-Дживса.

Однією із важливих задач оптимізації в теорії управління є задача оптимального параметричного синтезу регулятора. Цю задачу можна розв’язати методами моделювання і оптимізації для регуляторів різноманітної структури, а також для різноманітних об’єктів керування – лінійних, із запізненням, нелінійних та ін.

Рис. 1.9. Структурна схема метода моделювання та оптимізації одноконтурної САР

Структурна схема методу моделювання та оптимізації одноконтурної САР (системи автоматичного регулювання) зображена на Рис. 1.9.

Моделюючи процес, знаходимо сигнал розбалансу e(t) і використовуємо його для знаходження інтегрального критерію оптимізації. Математична постановка задачі оптимального параметричного синтезу АСР по інтегральному критерію в загальному вигляді може бути записана так:

– вектори параметрів об’єкту і вимірювального приладу;

– вектор параметрів регулятора

– відкриті або закриті області;

– детерміноване збурення.

Для рішення цієї задачі використовують методи нульового порядку.

Розглянемо задачу ОПС пропорційно-інтегрального регулятора для об’єкта першого порядку із запізненням.

Змістовна постановка задачі

Необхідно визначити параметри динамічної настройки пропорційно-інтегрального регулятора для відпрацювання заданого сигналу.

Математична постановка задачі

Передавальна функція об’єкту:

Інтегральний критерій має вигляд:

Передавальна функція регулятора:

Процедуру оптимізації виконати з використанням алгоритму Хука-Дживса.

Для знаходження значень К_p і Т_и методом Хука-Дживса подається збурення . Сигнал розбалансу надходить на блок, що обчислює критерій оптимізації та передає одержану величину на блок, що реалізує алгоритм оптимізації. Останній коректує параметри настройки регулятора . Потім подається нове збурення і дії повторюються. Оптимізація продовжується доти, доки зміна значення критерію оптимальності не стає меншою за задану точність, тобто , що свідчить про досягнення екстремуму.

Процес пошуку оптимальних настройок регулятора методом Хука-Дживса можна реалізувати програмно. На Рис. 1.10. наведено розрахунок настройок регулятора з використанням програми „Параметричний синтез одноконтурної АСР”. Початкові значення параметрів настройки регулятора одержані за допомогою інженерної методики: . Кінцеві значення після восьми кроків оптимізації становлять: .

Рис. 1.10. Розрахунок оптимальних параметрів регулятора методом моделювання і оптимізації

1 – перехідний процес до оптимізації;

2 – перехідний процес після восьми кроків оптимізації