Приклад 1.4. Розв’язок задачі оптимального параметричного синтезу регуляторів каскадної сау

Розглянемо задачу синтезу стабілізуючого та коректуючого ПІ-регуляторів каскадної САУ методом Хука-Дживса. Структурна схема системи оптимізації приведена на Риз. 1.11.

Рис. 1.11. Структурна схема методу моделювання та оптимізації каскадної САР

Математична постановка задачі

Передатна функція об’єкту:

,

Інтегральний критерій має вигляд:

Передавальна функція регулятора:

,

На Рис.1.12 наведено розрахунок настройок регулятора з використанням програми „Параметричний синтез каскадної системи. Початкові значення параметрів настройки регуляторів: ; . Кінцеві значення після 30 кроків пошуку становлять: ; .

Рис. 1.12. Розрахунок каскадної АСР методом моделювання і оптимізації.

1 – перехідний процес до оптимізації;

2 – перехідний процес після 30 кроків оптимізації.

1.4. Методи випадкового пошуку

Всі розглянуті методи відносились до регулярних методів пошуку екстремуму, тобто до методів, у яких напрямок і величина робочого кроку вибираються не випадковим чином. Це означає, що при тих самих умовах задачі оптимізації, визначених алгоритмом, щоразу буде обрано один і той же напрямок пошуку та величина робочого кроку.

Існують методи випадкового пошуку, що відрізняються від регулярних (детермінованих) методів оптимізації навмисним введенням елементів випадковості. Завдяки цьому у тих самих умовах можуть бути обрані різні напрямки і величини робочого кроку в процесі пошуку екстремуму.

Хоча методи випадкового пошуку можуть бути формально віднесені до методів нульового порядку, але наявність елементів випадковості (випадкового напрямку й випадкової точки) дозволяє виділити їх у самостійну групу.

1.4.1. Послідовність випадкових чисел

Елементи випадковості в методах випадкового пошуку реалізуються за допомогою випадкових чисел, рівномірно розподілених на деякому числовому відрізку.

Найбільше поширення знайшли програмні способи одержання послідовностей випадкових чисел, засновані на використанні певних алгоритмів. Необхідно відзначити, що за допомогою цих алгоритмів можуть бути знайдені лише послідовності псевдовипадкових чисел, які насправді не є випадковими, а можуть розглядатися такими лише в тому випадку, якщо об'єм вибірки випадкових чисел не занадто великий.

Для програмних способів отримання випадкових чисел використовуються наступні алгоритми, засновані на застосуванні рекурентних співвідношень.

Алгоритм I

Це означає, що кожне наступне випадкове число дорівнює остачі від ділення на М добутку числа на постійний множник K. Рекомендується вибирати , , .

Алгоритм II

Це означає, що кожне наступне випадкове число дорівнює остачі від ділення величини на . Рекомендується вибирати , , , . Для знаходження випадкового напрямку за допомогою послідовності випадкових чисел , , необхідно пронормувати кожне з m випадкових чисел:

.

Звідси випливає

Тому випадковий вектор має фактично довжину, рівну одиниці, і характеризує випадковий напрямок в m-мірному просторі.

Координати випадкової точки в m-мірному просторі також можуть бути знайдені за допомогою сукупності випадкових чисел , рівномірно розподіленої на якому-небудь інтервалі.

Нехай випадкові числа рівномірно розподілені в інтервалі , а m-мірний допустимий простір для задається умовами:

,

тоді:

. (1.10)

Якщо випадкові числа рівномірно розподілені в інтервалі , a m-мірний допустимий простір для задається умовами: , .

Тоді:

(1.11)

Наведені співвідношення (1.10) і (1.11) придатні для перетворення рівномірно розподілених випадкових чисел з одного інтервалу в будь-який інший.