Решение

1. Определение опорных реакций

Для балки, изображенной на рис.4, составляем три уравнения статики:

 F_x =0  H_A= 0; H_A= 0 .

 M_A =0 F·2  q·4·2 – m + R_B ·5=0;

12·2  10·8 – 19 + R_B ·5=0;

75 + R_B·5=0; R_B = 15 кН.

 M_B=0  F·7  R_A·5 + q·4·3  m=0;

 12·7  R_A·5 + 10·12 19 =0;

 185 R_A·5=0; R_A = 37 кН.

Проверяем правильность вычисления опорных реакций (сумма проекций всех сил на вертикальную ось z должна быть равна 0)

 F_z = – F+ R_A – q·4 + R_B = – 12 + 37 – 40 + 15 = 52 – 52=0.

2. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m

Расчетная схема балки имеет три участка, которые пронумеруем слева направо (рис.4).

I участок (начало отсчета на левом конце балки);

Q(x₁)= – F= – 12 кН;

M(x₁)= – Fx₁= – 12x₁;

M(0)=0 (значение на левой границе участка);

M(2)= – 12·2= – 24 кНм (значение на правой границе участка).

II участок (начало отсчета на левой границе участка);

Q(x₂)= – F + R_A – qx₂ = – 12 + 37 – 10x₂ =25 – 10x₂;

Q(0)=25 – 10·0= 25 кН (значение на левой границе участка);

Q(4)= 25 – 10·4= – 15 кН (значение на правой границе участка);

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x₀)=25 – 10x₀=0; x₀=25/10=2,5 м;

M(x₂)= – F ( x₂+2) + R_A x₂ – q x₂²/2= – 12( x₂+2) + 37x₂ – 10x₂²/2=

= – 24 + 25x₂ – 5x₂²;

M(0)= – 24 кНм (значение на левой границе участка);

M(2,5)= – 24 + 25·2,5 –5·2,5² = 7,25 кНм;

M(4)= – 24 + 25· 4 – 5·4²= – 4 кНм (значение на правой границе участка).

III участок (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x₃)= – R_B = – 15 кН;

M(x₃)= R_Bx₃ =15x₃;

M(0)= 0 (значение на правой границе участка);

M(1)= 15 кНм (значение на левой границе участка).

Используя полученные значения, строим в масштабе эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, как показано на рис.4.

Рис.4

Замечание. Здесь и в дальнейшем численные значения, полученные

в ходе расчета, округляем до 3 значащих цифр.

Замечание. Длину балки, а также эпюры поперечной силы и изгибающего

момента необходимо вычертить в масштабе. Приведем один из

возможных вариантов масштаба: масштаб длины балки 1см : 1,5м;

масштаб оси Q  1 см : 10 кН; масштаб оси M  1 см : 10 кНм.

Замечание. В строительных организациях эпюра изгибающих моментов стро-

ится на растянутом волокне, поэтому на эпюре M вместе со зна

ком пунктиром показаны положения растянутых волокон.

3.Подбор прямоугольного сечения деревянной балки по методу допускаемых напряжений

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям по методу допускаемых напряжений имеет вид:

_max [] (1)

В этой формуле:

_max  максимальное нормальное напряжение;

M_max максимальное по абсолютной величине значение изгибающего

момента (определяется по эпюре изгибающих моментов);

 момент сопротивления относительно оси y;

[ ]  допускаемое нормальное напряжение.

Сечение, в котором изгибающий момент принимает максимальное по абсолютной величине значение, называют опасным сечением балки по нормальным напряжениям.

Из условия прочности (1) определяется требуемая величина момента сопротивления по формуле:

. (2)

Размеры сечения подбираются из условия: .

В опасном сечении по нормальным напряжениям M_max=24 кНм.

Из условия прочности определяем требуемую величину момента сопротивления

2·10^-3 м³ =2·10^-3 ·10⁶ см³=2000 см³.

Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления выражается через размеры h и b (рис.5)

Используя заданное в условии соотношение

= h/b=2,5 выражаем момент сопротивления через один из размеров, например b ( h =2,5b ),

.

Рис.5

Приравнивая , получаем 2000 см³.

Из полученного соотношения определяем размер b

b 12,435 cм=12,4 см.

Принимаем b =12,5 см. Тогда h =2,5b = 2,5·12,5 см=31,25 см =31, 5 см.

Замечание. Размеры сечений деревянных элементов, согласно требованиям

технологии, округляются до размера кратного 0,5см.

Проверяем выполнение условия прочности. С этой целью определяем фактический момент сопротивления

=2070 см³=207010^-6 м³.

Находим максимальное нормальное напряжение

11,6 11,6 МПа < []=12 МПа.

Условие прочности выполняется.