Задача 2. Расчет на прочность стальной балки с промежуточным шарниром по методу допускаемых напряжений

Исходные данные:

a=1 м; b=2 м; с=2 м; d=1 м;

q=20 кН/м; m=18 кНм; F=20 кН.

Рис.8

Для заданной расчетной схемы балки с промежуточным шарниром (рис.8)

требуется:

1. Определить опорные реакции.

2. Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M).

3. Из условия прочности по методу допускаемых напряжений подобрать

номер двутавра (для четных схем по табл.3) или двух швеллеров (для не-

четных схем по табл.3). Принять допускаемое нормальное напряжение

 =160 МПа.

4. Проверить прочность выбранного сечения по касательным напряжениям,

приняв  = 0,6 .

5. Для опасных сечений балки построить:

а) эпюру нормальных напряжений по высоте сечения;

б) эпюру касательных напряжений в пределах высоты стенки сечения.

Решение

Расчет балки с промежуточным шарниром проведем методом составления поэтажной схемы (рис.9)

Рис.9

Для этого балка разрезается по промежуточному шарниру (шарнирам) и выделяются основная и подвесные балки.

Основной является та балка, которая может самостоятельно нести внешнюю нагрузку после разрезания по промежуточному шарниру (балка AB на рис.9).

Подвесная же балка не может работать самостоятельно вследствие недостаточности связей, закрепляющих ее от смещения как абсолютно твердого тела (балка BC на рис. 9).

Расчет балок производят отдельно, начиная с подвесных балок. При последующем расчете основной балки, кроме заданных внешних нагрузок, к ней должны быть приложены реакции взаимодействия с подвесными балками.

1.Определение опорных реакций и построение эпюр q и m подвесной балки bc (рис.10)

a) Определение опорных реакций

 F_x =0  H_B= 0; H_B= 0 .

 M_B=0  q·3·1,5 + R_С ·2+ m =0;

 20·4,5 + R_С ·2+ 18 =0;

72 + R_С ·2=0; R_С = 36 кН.

 M_C=0  R_B·2 + q·3·0,5 + m =0;

 R_B·2 + 20·1,5 +18 =0;

 R_B·2 +48 =0; R_B = 24 кН.

Рис.10

Проверка правильности вычисления опорных реакций (сумма проекций всех сил на вертикальную ось z должна быть равна 0)

 F_z = R_B – q·3+ R_С = 24– 20·3 + 36 = 60 – 60=0.

б) Построение эпюр Q и M

I участок (начало отсчета на левом конце балки)

Q(x₁)= R_B – qx₁ =24– 20x₁ ;

Q(0)= 24– 20·0= 24 кН (значение на левой границе участка).

Q(2)= 24– 20·2= – 16 кН (значение на правой границе участка);

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x₀)= 24– 20x₀=0; x₀=24/20=1,2м;

M(x₁)= R_B x₁– q /2 =24 x₁– 10 ;

M (0)= 0 (значение на левой границе участка);

M (1,2) = 24·1,2 – 10·1,2²= 14,4 кНм;

M (2)= 24·2 – 10·4=8 кНм (значение на правой границе участка).

II участок (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x₂)= qx₂= 20x₂;

Q(0)= 0 (значение на правой границе участка);

Q(1)= 20·1= 20 кН (значение на левой границе участка).

M(x₂)= m – q /2= 18 – 20 /2= 18 – 10 ;

M (0) = 0 (значение на правой границе участка);

M (1)= 18 – 10 =8 кНм (значение на левой границе участка).

Используя полученные результаты, строим в масштабе эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, как показано на рис. 10.