2 Билет. Конечные и бесконечные множества.

Множества – совокупность элементов, объединённых по какому-либо признаку. В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные.

Конечное множество – это множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. Другими словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a1, a2, ..., an, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Такие множества могут состоять из одного или нескольких элементов или вообще не содержать элементов.

Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101-й группе может не быть отличников и тогда А={а | а – отличник 101-й группы}=Æ.

Бесконечное множество – множество, состоящее из бесконечного числа элементов. Или, это множество, в котором найдётся счётное подмножество. Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами.

Примерами бесконечных множеств являются множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Существует так называемая мощность множества (кардинальное число множества) – это характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества. В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

• Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).

• Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.

• Часть множества не превосходит полного множества по мощности (т.е. по количеству элементов).

Существенным и весьма плодотворным оказалось деление бесконечных множеств на счётные и несчётные множества, теоремы об их свойствах, а также доказательство несчётности множества действительных чисел. Можно сказать, эти результаты лежат в самом фундаменте математического анализа.

3 Билет. Свойства операций объединения и пересечения множеств.

Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В. Объединение множеств обозначается символами "+" и "∪": C=A∪B.

Д иаграммы Эйлера-Венна Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

 

Пример. Пусть А={-6, -3, 0, 3, 6}, B={0,2, 4, 6, 8}. Тогда A∪B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn. Свойства операции объединения. Справедливы следующие равенства: 1. A∪B = B∪A (коммутативность); 2. (А∪B) ∪C = А (B∪C) (ассоциативность); 3. Объединение А и пустого множества равно А.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "·" (знак умножения): С = А∩В или С = АВ.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Пересечением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из множеств А1, А2, А3, …, Аn. Свойства операции пересечения множеств. Справедливы следующие равенства: 1. A∩B = B∩A (коммутативность); 2. (A∩В)∩С = А∩(В∩С) (ассоциативность); 3. А∩Ø=Ø .