32. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

Если  , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).

Если  , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка.

Если  , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительно g(x).

.Если  , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.

.

Для доказательства первого предела используется неравенство

,

верное для (неравенство sin x < x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x < tg x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используется монотонная и ограниченная последовательность

34. Определение непрерывности функции в точке.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.

Например, вычислить:

Решение:

ln e= 1

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если предел

,

и непрерывной слева в точке x_o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел  , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

35.Непрерывность функции на отрезке.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О[a, b] 

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0. (теорема Больцана-Коши).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX.

Теорема 4. Если функция непрерывная на отрезке,принимает в какой-то точке этого отрезка положительные(отрицательные) значения,то имеется некоторая окрестность этой точки,во всех точках которой функция тоже положительна(отрицательна).