18 Вопрос. Геометрический смысл предела последовательности.

Число a – предел последовательности x_n, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .

 

Пример:

Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел x_n..

Выберем интервал  с длиной . Расстояние между -1 и 1  равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.

19 Вопрос Теорема о единственности предела последовательности.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xna и xnb одновременно. Выберем числа 1 и 2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами  , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно.

20 Билет. Теорема о связи последовательности, имеющей предел, её предела и бесконечно малой.

Переменную величину можно представить в виде суммы её предела и бесконечно малой.

а_n= A + a_n

Пусть последовательность а_{n =} А. Рассмотрим последовательность а_{n –} А. lim а_n (n стремится к бесконечности) = А означает, что для всякого Е>0 любое N, что при всех n>N выполняется неравенство: /а_{n –} А/ < E. Следовательно, последовательность а_{n –} А – бесконечно малая. Обозначим а_{n –} А = а_n, а_n = А+ а_n. Следовательно, переменная величина а_{n =} сумме постоянной А, является ее пределом и бесконечно малой а_n.

21 Билет. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности:

Теорема1. Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся,то сходиться последовательность {x_n+y_n} и справедлива формула:

краткая формульровка этой теоремы: преде суммы равен сумме пределов, если пределы {x_n} _и {y_n} существуют и конечны.

Теорема2. Предел производной равен произведению пределов:

, если пределы {x_n} и {Y_n} существуют и конечны.

Теорема3. Постоянную велечину можно выносить за знак предела:

Lim(с* a_n)= c* lim a_n

Теорема4. Предел отношения равен обношению пределов:

. если пределы {X_n} и {Y_n} существуют и конечны.( )

доказательство:

докажем теорему1: пусть , а lim y_n=y

(n стремиться к бесконечн). Возьмем произвольное число E(эпсюл)>о. Тогда существуют числа N₁ и N₂ такие, что при всех n>N₁ |x_n-x|> E/2,

при всех n>N_{2 |}y_n-y|<E/2.

Пусть N₃- число больше,чем N₁ и N₂.Тогда при n>N₃ последние два неравенства истинны одновременно. Поэтому: |(x_n+y_n)-(x+y)|=|(x_n-x)+(y_n-y)|</=|x_n-x|+|y_n-y|<E/2+E/2=E

Следовательно последовательность x_n+y_n сходиться и

Остальные правила доказываются аналогично.

22.Признаки существования предела последовательности.

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями и , т.е. выполняется неравенство х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

=> .

Теорема 2. Если функция y=f(x) монотонно возрастет (убывает) в некоторой окрестности точки а и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при .

Признаки существования предела

1. Если

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (x_n) имеет конечный предел тогда и только тогда когда

(критерий Коши).