8 Билет. Суперпозиция функций.
В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.
Пусть имеются две функции: z = h(y) и y = g(x), причем область значений функции g принадлежит области определения функции h. Тогда функция z = h(g(x)) называется композицией функций h и g, или сложной функцией, или суперпозицией функций. Аналогично можно рассматривать композицию любого конечного числа функций.
Пример
Функции у =
5sin2(3x –
1); y =
5sin3x; y = x3x; y =
ln(ctgx)
– композиции различных элементарных
функций.
В математическом анализе и
теории вероятностей композицией
(свёрткой)
называют и другие способы образования
из двух функций, f(x) и g(x),
третьей, h(x),
например:
Композицией двух преобразований называют последовательное выполнение этих преобразований, а также полученное в результате этого итоговое преобразование. Если в результате первого преобразования фигура Ф1 перешла в фигуру Ф2, а в результате второго преобразования фигура Ф2 перешла в фигуру Ф3, то композиция этих преобразований – преобразование, которое переводит фигуру Ф1 в фигуру Ф3.
Вообще термин «композиция» употребляют для обозначения любой операции, которая по определенному правилу ставит в соответствие паре элементов третий элемент.
Происхождение термина – латинское слово composition (составление).
9. Последовательность - функция натурального аргумента.
1. Последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел, обозначаемое а1, а2,... , аn,... , или кратко
Другое определение последовательности — функция натурального аргумента: xn = f(n). Обозначают числовую последовательность {xn}. Примеры числовых последовательностей:
Пример 16. 1) 1,2,..., n,...; 2) 1,-1,1,-1,...,(-1)n,... ;3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....
10. Бесконечно малые последовательности
Оределение. Последовательность 
называется бесконечно
малой, если для любого положительного
числа ε можно
указать номер N ,
после которого члены последовательности
по абсолютной величине меньше, чем ε
Математическим
языком:
Последовательность
называется бесконечные
малой, если для любого положительного
числа ε можно
указать номер N такой,
что при n>N все
элементы 
этой
последовательности удовлетворяют
неравенству 
.
((ε
0
N
n
(n
N
|аn|
< ε)).
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.
11 Билет. Определение бесконечно малой последовательности на языке «e» - «n»
Последовательность
an
называется
бесконечно малой, если для любого сколь
угодно малого положительного числа (
)
обязательно найдется такой номер,
зависящий от выбранного числа (
)который
обладает свойствами:
(
E
> 0)
для любого
последующего номера будет выполняться
условие: все элементы по модулю в
дальнейшем будут меньше
>
0
N
→ (
n
> N
,
|an|
<