18. Одноетапні моделі

Одноетапні моделі управління запасами відображають ситуацію, коли для задоволення попиту протягом визначеного періоду продукція замовляється тільки один раз. Наприклад, у модний сезонний товар застаріває до кінця сезону, і, отже, замовлення на нього можуть не відновлюватись.

Будемо використовувати наступні позначення.

c – вартість закупівлі (або виробництва) одиниці продукції;

K – вартість розміщення замовлення;

h – питомі витрати на збереження одиниці продукції протягом розглянутого періоду;

p – питомі втрати від незадоволеного попиту (на одиницю продукції за розглянутий період);

D – величина випадкового попиту за розглянутий період;

f(D) – щільність імовірності попиту за розглянутий період;

y – обсяг замовлення;

x – наявний запас продукції перед розміщенням замовлення.

Модель визначає оптимальний обсяг замовлення y, що мінімізує сумарні очікувані витрати, які пов'язані із закупівлею (або виробництвом), збереженням і незадоволеним попитом. При відомому оптимальному значенні y (позначається ) оптимальне управління запасами полягає у розміщенні замовлення обсягом , якщо , у протилежному випадку замовлення не розміщається.

Модель при відсутності витрат на оформлення замовлення

У цій моделі приймається наступне.

1. Попит задовольняється миттєво на початку періоду безпосередньо після одержання замовлення.

2. Витрати на розміщення замовлення відсутні.

Рис. 6.4 ілюструє стан запасу після задоволення попиту D. Якщо , запас y–D зберігається протягом періоду. Якщо ж , виникає дефіцит обсягом D–y.

Рис. 6.4

Очікувані витрати M{C(y)} за період виражаються наступною формулою.

.

Можна показати, що функція M{C(y)} є опуклою по y і, таким чином, має єдиний мінімум. Отже, обчислюючи першу похідну функції M{C(y)} по y і прирівнюючи її до нуля, одержимо

або

.

Звідси маємо

.

Права частина останньої формули відома як критичне відношення. Значення визначиться тільки за умови, якщо критичне відношення є невід’ємним, тобто . Випадок, коли , є безглуздим, оскільки це означає, що вартість закупівлі одиниці продукції вища втрати від незадоволеного попиту.

Раніше передбачалося, що попит D є неперервною випадковою величиною. Якщо ж D є дискретною величиною, то щільність розподілу імовірностей f(D) визначена лише в дискретних точках і функція витрат визначається відповідно до формули

.

Необхідними умовами оптимальності є нерівності

и

Ці умови в даному випадку є достатніми, оскільки функція M{C(y)} опукла. Використовуючи ці умови, після деяких алгебраїчних перетворень приходимо до наступних нерівностей для визначення .

.

Приклад 6.3–1

Власник газетного кіоску повинен визначити кількість екземплярів газети USA Now, які повинні бути в продажі на початку кожного дня. Він купує екземпляр газети за 30 центів, а продає за 75 центів. Продаж газети звичайно відбувається з 7.00 до 8.00 годин ранку. Екземпляри газети, що залишилися до кінця дня, повторно виставляються для продажу за ціною 5 центів за екземпляр. Скільки екземплярів газети повинен закупити власник щоранку, якщо денний попит описується одним з наступних імовірнісних розподілів.

1. Нормальним розподілом з математичним сподіванням 300 екземплярів і стандартним відхиленням 20 екземплярів.

2. Дискретною щільністю розподілу f(D), заданої у вигляді наступної таблиці.

D	200	220	300	320	340
f(D)	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Вартості збереження і втрати, які обумовлені дефіцитом, у цій ситуації не визначені в явному вигляді. Однак дані задачі свідчать про те, що кожен непроданий екземпляр газети обходиться власникові в 30–5=25 центів і що втрати, пов'язані з виснаженням запасу газет, дорівнюють 75 центів за екземпляр. Отже, у термінах, прийнятих у моделі управління запасами, ми можемо припускати, що c=30 центів за екземпляр, h=25 центів за екземпляр, p=75 центів за екземпляр у день.

Спочатку визначаємо критичне відношення

Випадок 1.

Попит D розподілений по нормальному закону N(300,20). Визначимо нормовану нормально розподілену випадкову величину (із законом розподілу N(0,1))

.

Тоді

.

З таблиці стандартного нормального розподілу знаходимо

.

Отже, оптимальний обсяг замовлення дорівнює (або приблизно 298) екземплярів.

Випадок 2.

Попит D описується дискретною щільністю розподілу f(D). Спочатку знайдемо функцію розподілу .

y	200	220	300	320	340
	0.1	0.3	0.7	0.9	1.0

Для обчисленого критичного відношення 0.45 маємо нерівності

.

Звідси випливає, екземплярів.