13. Багатопродуктова статична модель з обмеженою місткістю складу

Ця модель розглядає задачу управління запасами n різних товарів, що зберігаються на одному складі обмеженої місткості. Характер зміни запасу кожного товару окремо визначається функцією, показаною на рис. 5.1; припускаємо, що дефіцит відсутній. Відмінність від раніше розглянутих моделей полягає в тому, що товари конкурують між собою за обмежений складський простір.

Визначимо для товару i, i=1,2,...,n наступні параметри.

– інтенсивність попиту,

– вартість розміщення замовлення,

– вартість збереження одиниці товару в одиницю часу,

– обсяг замовлення,

– необхідний простір для збереження одиниці товару,

A – максимальний складський простір для збереження товарів n видів.

При відсутності дефіциту математична модель сформульованої задачі має такий вигляд.

Мінімізувати

при обмеженнях , .

Алгоритм розв’язання цієї задачі можна описати таким чином.

Крок 1. Обчислюються оптимальні обсяги замовлень без обліку обмеження по місткості складу:

.

Крок 2. Здійснюється перевірка, чи задовольняють знайдені значення обмеженню по місткості складу. Якщо "Так", обчислення закінчуються, при цьому значення , є оптимальними. У протилежному випадку варто перейти до кроку 3.

Крок 3. Обмеження по місткості складу повинно задовольнятися у формі рівності. Використовується метод множників Лагранжа для визначення оптимальних обсягів замовлення для задачі з обмеженням.

На кроці 3 будується функція Лагранжа

,

де – множник Лагранжа¹.

¹ Застосування методу в даному випадку є коректним, тому що тут функція TCU(y₁,y₂,…,y_n) опукла, задача має єдине лінійне обмеження і, отже, опуклий простір розв’язків. Метод може виявитися некоректним при інших обмеженнях або при наявності більш ніж одного обмеження.

Оскільки функція Лагранжа є опуклою, оптимальні значення і знаходяться з наступних рівнянь, що представляють собою необхідні умови екстремуму функції Лагранжа.

, .

Друге рівняння показує, що обмеження по місткості складу в оптимальній точці повинно задовольнятися у формі рівності.

З першого рівняння випливає, що

Отримана формула показує, що залежить від оптимального значення множника Лагранжа. Крім того, при значення є розв’язком задачі без обмеження.

Значення може бути знайдене таким чином. Оскільки за визначенням у поставленій вище задачі мінімізації , ми послідовно зменшуємо  на досить малу величину і використовуємо її в даній формулі для обчислення відповідного значення . Шукане значення приводить до значень , , що задовольняють обмеженню по місткості складу у формі рівності.

14. Модель при відсутності витрат на оформлення замовлення

У цій моделі розглядається задача календарного планування виробництва розрахована на n рівних періодів. Можливі обсяги виробництва кожного з періодів обмежені, однак вони можуть включати кілька рівнів (наприклад, два можливих обсяги виробництва можуть визначатися звичайним режимом роботи і понаднормових робіт відповідно). Протягом поточного періоду можуть вироблятися вироби для наступних періодів, але в цьому випадку повинні враховуватися витрати на їх збереження.

Основні припущення моделі полягають у наступному.

1. Відсутність витрат на оформлення замовлення в будь-який період планування.

2. Відсутність (неприпустимість) дефіциту.

3. Вартість виробництва одиниці продукції в будь-який період або є постійною, або має зростаючі граничні витрати (тобто відповідна функція витрат є опуклою).

4. Вартість збереження одиниці продукції кожного періоду є постійною величиною.

Припущення про відсутність дефіциту означає, що попит на продукцію протягом поточного періоду не може бути задоволений за рахунок її виробництва в наступні періоди. Це припущення принаймні вимагає, щоб сумарні можливості виробництва за періоди 1,2,...,i були рівні сумарному попитові на продукцію за цей же час.

На рис. 5.6 показано, коли виробничі витрати на одиницю продукції зростають зі збільшенням рівня виробництва. Наприклад, при двох можливих обсягах виробництва, що визначаються звичайним режимом роботи і понаднормовими роботами, вартість виробництва одиниці продукції, виробленої в понаднормовий час, вища, ніж при звичайному режимі роботи.

Рис. 5.6

Розглянуту задачу n-етапного планування можна сформулювати у вигляді транспортної задачі (див. главу 5) з kn пунктами виробництва і n споживачами, де k – кількість можливих рівнів виробництва протягом періоду (наприклад, якщо протягом кожного періоду використовуються регулярний і надточний режими роботи, то k=2). Виробничі можливості кожного з kn пунктів виробництва визначають обсяги постачань. Обсяги споживання визначаються обсягом попиту для кожного періоду. Собівартість "перевезення" від пункту виробництва до пункту призначення визначається сумою витрат використовуваного виробничого процесу і вартості збереження одиниці продукції. Оптимальний розв’язок такої транспортної задачі визначить обсяги виробництва продукції для кожного виробничого рівня, що мінімізують сумарні витрати на виробництво і збереження.

Цю задачу можна розв’язати без використання методу розв’язання транспортних задач. Обґрунтованість нового методу розв’язання, показаного далі, випливає зі згаданих припущень про відсутність дефіциту й опуклості функції витрат на виробництво.

Приклад 5.4-1

Компанія виробляє спеціальні витяжки, що використовуються в домашніх камінах у період із грудня по березень. На початку опалювального сезону попит на цю продукцію низький, у середині сезону він досягає свого піка і зменшується до кінця сезону. З огляду на популярність продукції, компанія може використовувати понаднормові роботи для задоволення попиту на свою продукцію. Наступна таблиця містить дані про виробничі потужності компанії й обсяги попиту протягом чотирьох місяців.

Місяць	Можливості виробництва		Попит (одиниці)
	Звичайний режим роботи (одиниці)	Понаднормові (одиниці)
1 2 3 4	90 100 120 110	50 60 80 70	100 190 210 160

Вартість виробництва одиниці продукції дорівнює 6 доларів в умовах звичайного режиму роботи і 9 доларів при понаднормових роботах. Вартість збереження одиниці продукції протягом місяця дорівнює 0.10 долара.

Щоб гарантувати допустимість розв’язку при відсутності дефіциту, потрібно, щоб сумарна пропозиція продукції (можливості виробництва) до початку кожного місяця щонайменше дорівнювало сумарному попитові. Про це свідчить наступна таблиця.

Місяць	Сумарна пропозиція	Сумарний попит
1	90+50=140	100
2	140+100+60=300	100+190=290
3	300+120+80=500	290+210=500
4	500+110+70=680	500+160=660

У табл. 5.1 подані дані, що відносяться до розглянутої задачі, і її розв’язку. Тут і відповідають рівням виробництва у звичайному і понаднормовому режимі роботи протягом періоду i, i=1,2,3,4. Оскільки сумарна пропозиція в четвертому періоді перевищує сумарний попит, то введений фіктивний пункт споживання (надлишок), щоб збалансувати модель (це показано в табл. 5.1). Усі "транспортні" маршрути з попередніх у поточний період заблоковані, тому що дефіцит відсутній.

Собівартості "перевезень" продукції обчислюються у вигляді суми витрат на виробництво і збереження. Наприклад, відповідна собівартість від до першого періоду дорівнює лише вартості виготовлення в 6 доларів, собівартість від до четвертого періоду – вартості виготовлення плюс вартість збереження від першого періоду до четвертого, тобто 9+(0.1+0.1+0.1)=9.30 долара. Нарешті, собівартість перевезення до фіктивного пункту споживання (надлишок) дорівнює нулеві.

Таблиця 5.1.

	1		2		3		4		Надлишок
R1		6		6.1		6.2		6.3		0	90
	90
O1		9		9.1		9.2		9.3		0	50
	10		30		10
R2				6		6.1		6.2		0	100
			100
O2				9		9.1		9.2		0	60
			60
R3						6		6.1		0	120
					120
O3						9		9.1		0	80
					80
R4								6		0	110
							110
O4								9		0	70
							50
	100		190		210		160		20

Оптимальний розв’язок отримується за один прохід, починаючи з першого стовпця у напрямку до стовпця "Надлишок". Для кожного перспективного стовпця попит задовольняється з використанням найдешевшого маршруту.

Починаючи з першого стовпця маршрут ( ,1) має саму дешеву собівартість перевезення, і ми призначаємо перевезення максимально можливого обсягу, а саме min(90,100)=90 одиниць, що залишає 10 одиниць незадоволеного попиту в першому стовпці. Далі ми переходимо до наступного по собівартості маршруту ( ,1) першого стовпця і визначаємо перевезення min(50,10)=10 одиниць, що тепер цілком задовольняє попит для першого періоду.

Після задоволення попиту для першого періоду ми переходимо до другого стовпця. Визначення перевезень у цьому стовпці здійснюється таким чином: 100 одиниць по маршруту ( ,2), 60 одиниць по маршруту ( ,2) і 30 одиниць по маршруту ( ,2). Цим маршрутам відповідають собівартості "перевезень" у 6, 9 і 9.10 доларів. При цьому маршрут ( ,2), транспортні витрати на одиницю продукції для якого рівні 6.10 доларів, не розглядається, тому що весь запас був витрачений для першого періоду.

Продовжуючи аналогічним чином, ми задовольняємо попит для третього, а потім і четвертого стовпців. Оптимальний розв’язок, виділений жирним шрифтом у табл. 5.1, інтерпретується таким чином.

Період 1 (звичайний режим роботи). Виготовити 90 одиниць продукції для першого періоду.

Період 1 (понаднормовий режим роботи). Виготовити 40 одиниць продукції: 10 для періоду 1, 30 для періоду 2 і 10 для періоду 3.

Період 2 (звичайний режим роботи). Виготовити 100 одиниць продукції для другого періоду.

Період 2 (понаднормовий режим роботи). Виготовити 60 одиниць продукції для періоду 2.

Період 3 (звичайний режим роботи). Виготовити 120 одиниць продукції для третього періоду.

Період 3 (понаднормовий режим роботи). Виготовити 80 одиниць продукції для періоду 3.

Період 4 (звичайний режим роботи). Виготовити 110 одиниць продукції для четвертого періоду.

Період 4 (понаднормовий режим роботи). Виготовити 50 одиниць продукції для періоду 4; залишилася невикористаною виробнича потужність на 20 одиниць продукції.

Відповідні сумарні витрати при цьому рівні