28. Функціональні характеристики стаціонарних систем обслуговування
Найбільш уживаними функціональними характеристиками систем масового обслуговування є наступні.
– середнє число клієнтів, що знаходяться
в системі,
– середнє число клієнтів у черзі,
– середня тривалість перебування
клієнта в системі,
– середня тривалість перебування
клієнта в черзі,
– середня кількість зайнятих засобів
обслуговування (сервісів ).
Нагадаємо, що система
включає як чергу, так і засіб
обслуговування. Покажемо, як перераховані
функціональні характеристики отримуються
(прямо або побічно) з імовірностей
– імовірностей того, що в системі
знаходиться n клієнтів. Зокрема,
маємо наступне.
,
.
Залежність між і (а також між і ) відома в літературі з теорії масового обслуговування як формула Літтла і має вигляд
,
.
Ці співвідношення
справедливі при досить загальних умовах.
Параметр
представляє собою ефективну
інтенсивність надходження клієнтів у
систему обслуговування. Він дорівнює
(вихідній) інтенсивності надходження
клієнтів , коли всі
прибуваючі клієнти мають можливість
потрапити в обслуговуючу систему. Якщо
ж деякі клієнти не мають такої можливості
з тієї причини, що вона заповнена, то
.
Пізніше ми покажемо, як обчислюється
.
Існує також пряма залежність між величинами і . За визначенням
.
Математично це записується в наступному вигляді
.
Тепер можна одержати формулу, яка пов'язує і , помноживши обидві частини останнього співвідношення на і використовуючи формулу Літтла. У результаті одержимо
.
За визначенням різниця
між середнім числом
клієнтів, що знаходяться в системі, і
середнім числом
клієнтів у черзі дорівнює середній
кількості
зайнятих вузлів обслуговування. Отже,
маємо
.
Тому відсоток
використання вузлів обслуговування
обчислюється як
.
Рис. 7.5
Ефективну інтенсивність
надходження клієнтів у систему
обслуговування
можна обчислити з використанням
принципової схеми (рис. 7.5), відповідно
до якої клієнти з джерела надходять з
інтенсивністю .
Прибуваючий клієнт може надійти у
систему обслуговування з інтенсивністю
,
або відмовитись від обслуговування з
інтенсивністю
,
тобто
.
Клієнт не може потрапити на обслуговування,
якщо там уже зайняті усі сервіси. Це
означає, що частина клієнтів, які не
зможуть потрапити на обслуговування,
пропорційна
.
Отже,
,
.
29. Моделі з одним сервісом
Розглянемо дві моделі обслуговуючої системи з одним засобом обслуговування (тобто c=1). Передбачається, що клієнти надходять з постійною інтенсивністю . Інтенсивність обслуговування також постійна і дорівнює клієнтів в одиницю часу. Перша модель не встановлює обмежень на місткість системи, у другій моделі передбачається, що місткість системи є обмеженою. У цих двох моделях джерело, що "породжує" клієнтів, має необмежену ємність.
Розглянуті тут моделі обслуговуючих систем є окремими випадками систем обслуговування загального виду, розглянутих раніше.
Оскільки виведення виразу для і усіх функціональних характеристик обслуговуючої системи виконано незалежно від конкретної дисципліни черги, у позначеннях будемо використовувати символ GD (дисципліна черги не регламентована).
Модель (М/М/1): (GD//). Використовуючи позначення загальної моделі, маємо
і
для всіх n=0,1,2,....
Оскільки відсутні
обмеження на ємність черги і, отже, усі
прибуваючі клієнти можуть потрапити в
систему обслуговування, то
і
.
Позначимо
.
Тоді вираз для імовірності
в загальній моделі приймає наступний
вид:
.
Для визначення величини використовується тотожність
.
Припускаємо, що <1,
тоді геометричний ряд має скінченну
суму
,
тому
.
Отже, загальна формула для має вигляд
.
При виведенні формули
для
передбачалося, що <1.
Це означає, що для досягнення системою
стаціонарного режиму функціонування
необхідно, щоб інтенсивність надходження
клієнтів була
строго менше інтенсивності обслуговування
. Якщо
,
геометричний ряд є розбіжним, і, отже,
імовірності
стаціонарного стану не існує. У цьому
випадку система обслуговування буде
функціонувати в нестаціонарному режимі,
коли довжина черги згодом необмежено
зростає.
Середнє число клієнтів , що знаходяться в системі обчислюється за формулою:
.
Оскільки в розглянутій моделі , то інші функціональні характеристики обслуговуючої системи обчислюються з використанням розглянутих вище співвідношень, які приводить до наступних результатів.
,
,
,
.
Розподіл часу чекання в моделі (M/M/1):(FCFS//). Виведення формули для імовірностей у загальній моделі системи обслуговування, розглянутої в розділі 7.5, повністю не залежить від дисципліни черги. Це означає, що математичні сподівання усіх функціональних параметрів , , , і справедливі для системи з будь-якою дисципліною черги.
Хоча середній час очікування в системі обслуговування не залежить від дисципліни черги, щільність імовірності його розподілу залежить від дисципліни черги. Проілюструємо це твердження шляхом побудови щільності імовірності часу очікування для моделі (М/М/1) з дисципліною черги FCFS ("першим прийшов – першим обслуговуєшся").
Позначимо через кількість часу, яку тільки що прибулий клієнт проведе в системі від моменту прибуття до завершення обслуговування. Виходячи з дисципліни черги FCFS, якщо в системі вже знаходиться n клієнтів, які надійшли в систему раніше тільки що прибулого, то
,
де
– час, необхідний для завершення
обслуговування клієнта, який вже
знаходиться в засобі обслуговування
системи, а
– інтервали часу, що будуть потрібні
для обслуговування n–1 клієнтів, що
знаходяться в черзі. Величина
являє собою час обслуговування тільки
що прибулого клієнта.
Позначимо через
умовну щільність імовірності ,
де умовою служить наявність в обслуговуючій
системі n клієнтів на момент прибуття
нового. Оскільки час обслуговування в
системі розподілений по експонентному
закону, у силу властивості відсутності
післядії цього розподілу величина
також розподілена за експонентним
законом. Отже, являє
собою суму n+1 незалежних випадкових
величин, кожна з яких підкоряється тому
самому експонентному розподілові. Як
відомо з теорії імовірностей, функція
буде щільністю імовірності гамма-розподілу
з параметрами і
n+1. Звідси випливає, що
Таким чином показано,
що випадкова величина
має експонентний розподіл з математичним
сподіванням
.
Модель (М/М/1): (GD/N/). Ця модель відрізняється від розглянутої вище тільки тим, що система вміщає не більш N клієнтів (максимальна довжина черги дорівнює N–1). Ситуація тут така, що як тільки число клієнтів у системі досягає N, жоден з додаткових клієнтів на обслуговування не приймається. З цієї умови випливає, що
Використовуючи позначення , маємо
Значення імовірності
визначається з рівняння
,
що приймає наступний вид:
.
Звідси одержуємо
Отже,
Відмітимо, що в цій моделі значення параметра не обов'язково повинне бути менше одиниці, оскільки надходження клієнтів у систему контролюються максимальною ємністю системи N. Це означає, що в даному випадку як інтенсивність надходження клієнтів скоріше виступає , ніж . Оскільки клієнти будуть загублені в тому випадку, коли в системі знаходиться N клієнтів, тоді
,
.
Варто очікувати, що буде менше .
Середнє число клієнтів у системі обчислюється по формулі
При
(перевірте!). Використовуючи значення
і
,
можна також одержати вираз для
,
і
.