7. Построение эпюров и наглядных изображений точек в разных октантах

A (10, 20, -30);

Так как координаты x и y положительны, а координата z отрицательна – точка расположена в четвертом октанте.

B (10, -20, 30);

Так как координаты x и z положительны, а координата y отрицательна – точка расположена во втором октанте

С (-10, 20, 30)

Так как координаты y и z положительны, а координата x отрицательна – точка расположена в пятом октанте.

8. Упражнения для домашнего задания

1. Построить проекции и наглядное изображение точек по координатам, определить их положение относительно плоскостей проекций.

A (10, 15, 40);

B (0, 30, 20);

C (20, 40, 15);

D (30, 0, 20);

E (-20, 10, -30);

F (10, 20, -20);

G (25, -15, 30);

2. Построить наглядные изображения и чертежи точек: В, принадлежащей горизонтальной плоскости проекций П₁; С, принадлежащей фронтальной плоскости проекций П₂; D, принадлежащей профильной плоскости проекций П₃. Записать координаты точек.

3. По координатам точек А (20; 50; 70) и В (30; 40; 20), не строя эпюр этих точек, мыс­ленно представьте их положение в пространст­ве, определите, какая из них выше, какая ниже, какая ближе к плоскости П₃, а какая — к П₂. Построив наглядные изображения и эпюр точек А и В, проверьте, правильно ли вы ответили на поставленные вопросы.

4. Постройте наглядные изображения и не­достающие проекции точек С, D и E, изобра­женных на рисунке.

5. Построить наглядные изображения и чертежи точек:

Е, принадлежащей горизонтальной П₁ и фронтальной П₂ плоскостям проекций;

F, принадлежащей горизонтальной П₁ и профильной П₃ плоскостям проекций;

К, принадлежащей фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостям проекций;

L, принадлежащей горизонтальной П₁ фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостям проекций.

Записать координаты точек.

Проецирование прямой линии.

1. Общий случай проецирования прямой

Всякую линию, в том числе и пря­мую, можно рассматривать как сово­купность бесконечно большого коли­чества последовательных положений движущейся в пространстве точки, а прямоугольную проекцию прямой АВ на плоскость X (рис. 8) — как сово­купность проекций точек прямой.

Все проецирующие лучи, проходя­щие через точки прямой АВ, будут расположены в плоскости Y, проведенной через заданную прямую АВ и перпендикулярной к плоскости X. Линия пе­ресечения ab плоскостей Y и X будет горизонтальной проекцией прямой АВ на плоскость X. Так как плоскости пересекаются по прямой, то проекция прямой в общем случае также прямая. (В частном случае проекцией прямой может быть точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций)

2. Положение прямой относительно плоскостей проекции

Положение прямой в пространстве определяется двумя точками.

Чтобы построить проекции отрезка АВ (рис. 9, а), достаточно построить и соединить прямой одноименные про­екции его крайних точек.

Положение отрезка прямой в про­странстве определяется двумя его про­екциями. Чтобы найти третью проек­цию отрезка, необходимо построить третьи проекции ограничивающих его точек. На рис. 9, б стрелками показан ход построения профильной проекции A₃B₃ отрезка AB по заданным горизон­тальной AB и фронтальной A₁B₁ проек­циям.

Прямая в пространстве относитель­но плоскостей проекций может зани­мать любое положение: если она не па­раллельна ни одной из плоскостей про­екций, то ее называют прямой общего положения; если же параллельна одной или двум плоскос­тям проекций, то такая прямая зани­мает частное положение в пространст­ве. Прямые, параллельные плоскос­ти П₁, называют горизонтальными; прямые, параллельные плоскости П₂, — фронтальными; прямые, параллельные плоскости П₃, — профильными.

Отрезок прямой, параллельной од­ной из плоскостей проекций, проециру­ется на эту плоскость без искажения, его проекция на эту плоскость будет параллельна данному отрезку пря­мой. Другие проекции такого отрезка будут параллельны соответствующим осям координат.

Прямая, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций - проецирующая, проецируется на эту плоскость в точку, а на две другие плоскости про­екций — в прямые, перпендикулярные к соответствующим осям координат и равные действительной длине прямой.

В таблице 3 приведены различные слу­чаи расположения прямой в пространстве относительно плоскостей проек­ций.

Таблица 3. Положение прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

№	Положение прямой в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Положение проекции прямой
1	Не параллельна плоскостям проекций – прямая общего положения			Проекции не параллельны осям координат
2	Параллельна плоскости П1 – горизонтальная прямая			Горизонтальная произвольно Фронтальная параллельна оси x Профильная параллельна оси y
3	Параллельна плоскости П2 – фронтальная прямая			Горизонтальная параллельна оси x Фронтальная произвольно Профильная параллельна оси z
4	Параллельна плоскости П3 – Профильная прямая			Горизонтальная параллельна оси y Фронтальная параллельна оси z Профильная произвольно
5	Перпендикулярна к плоскости П1 – горизонтально проецирующая прямая			Горизонтальная превращается в точку Фронтальная и профильная параллельны оси z
6	Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально проецирующая прямая			Горизонтальная и профильная параллельны оси y Фронтальная превращается в точку
7	Перпендикулярна к плоскости П3 – прямая профильно проецирующая			Горизонтальная и фронтальная параллельны оси x Профильная превращается в точку