7.1.5. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Н ехай функція неперервна на відрізку . Як відомо, така функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка , або на межі відрізка, тобто при або Якщо, то точку слід шукати серед критичних точок даної функції (див. Рис. 152).

Рис. 152

Одержуємо наступне правило знаходження найбільшого і якнайменшого значень функції на :

знайти критичні точки на інтервалі ;

обчисли значення функції в знайдених критичних точках ;

1. обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто в точках і ;

2) серед всіх обчислених значень функції вибрати найбільше і якнайменше.

Зауваження: 1. Якщо функція на відрізку має лише одну критичну крапку і вона є точкою максимуму (мінімуму), то в цій точці функція приймає найбільше (якнайменше) значення. На малюнку 152 (нб– найбільше, max– максимальне ).

2. якщо функція на відрізку не має критичних крапок, то це означає, сто на ньому функція монотонно зростає або убуває. Отже, своє найбільше значення (М) функція приймає на одному кінці відрізка, а якнайменше (т)– на іншому.

Приклад 7.1.10. Знайти найбільше і якнайменше значення функції

на відрізку .

○ Знаходимо критичні точки даної функції:

при і при . Знаходимо , , , . Отже , в точці в точці .

Знаходження найбільшого і найменшого значення функції широко застосовується при рішенні багатьох задач математики, фізики, хімії, економіки і інших дисциплін.

Практичні задачі: транспортна задача про перевезення вантажу з мінімальними витратами, задача об організації виробничого процесу з метою отримання максимального прибутку і інші задачі, пов'язані з пошуком оптимального розв’язання, приводять до розвитку і удосконалення методів відшукання найбільших і якнайменших значень. Розв’язанням таких задач займається особлива гілка математики – лінійне програмування.

Розглянемо більш просту задачу.●

Приклад 7.1.11. З кулі радіусу R виточити циліндр найбільшого об'єму. Які його розміри?

○ Позначимо через х і у висоту і діаметр циліндра. Тоді, як видно з малюнка 153,, а тому об'єм циліндра.

де .

Рис. 153.

Знаходимо найбільше і найменше значення функції на проміжку . Оскільки то при крім того . Тому – точка максимуму. Оскільки функція має одну критичну крапку, то циліндр будить має найбільший об'єм (рівний) при ; діаметр підстав циліндра рівний

Таким чином, шуканий циліндр має висоту, рівну, діаметр, рівний ●

7.1.6. Опуклість графіка функції. Точки перегину

Графік функції, що диференціюється, називається опуклим вниз на інтервалі, якщо він розташований вище будь-якою її дотичною на цьому інтервалі.

Г рафік функції називається опуклим вгору на інтервалі, якщо але розташований нижче будь-якою її дотичною на цьому інтервалі.

Точка графіка неперервної функції, що відділяє його частини різної опуклості, називається точкою перегину.

На малюнку 153 крива опукла вгору на інтервалі , опукла вниз на інтервалі , точка – точка перегину.

Рис. 154.

Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступної теореми.

Теорема 7.1.11. Якщо функція у всіх точках інтервалу має відємну другу похідну, тобто, то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж – графік опуклий вниз.

□Нехай . Візьмемо на графіку функції довільну точку М з абсцисою ординату у кривої з ординатою її дотичної. Рівняння дотичної, як відомо, є

, тобто .

Тоді . По теоремі Лагранжа, де з лежить між і . Тому

, тобто . Різницю знову перетворимо по формулі Лагранжа:

, де лежить між і . Таким чином одержуємо

.

Д осліджуємо цю рівність:

1. якщо , то, , і . Отже, тобто

2. якщо , то , і . Отже, тобто :

Отже, доведено, що у всіх точках інтервалу

Рис. 155. ордината дотичної більше ординати графіка, тобто графік функції опуклий вгору. Аналогічно доводиться, що при графік опуклий вниз.■

Для знаходження точок перегину графіка функції використовується наступна теорема.

Теорема 7.1.12. (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна при переході через точку, в якій вона рівна нулю або не існує, міняє знак, то точка графіка з абсцисою є точка перегину.

□Нехай при і при . Це значить, що зліва від графік опуклий вгору, а справа – опуклий вниз. Отже, точка – точка перегину графіка функції .■

Приклад 7.1.12. Досліджувати на опуклість і точки перегину графік функції.

○ Знаходимо, що . Друга похідна існує на всій числовій осі; при .

Відзначаємо, що при ; при .

Отже, графік функції в інтервалі – опуклий вгору, в інтервалі – опуклий вниз. Точка є точка перегину.●