7.4. Дії над комплексними числами

7.4.1 Додавання комплексних чисел

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число, що визначається рівністю

(7.4.1)

С кладання комплексних чисел володіє переставними (комутативним) і сполучним (асоціативним) властивостями:

.

З визначення (7.4.1) виходить, що геометрично комплексні числа складаються як вектори (див. рис. 164).

Безпосередньо з малюнка видно, що . Це співвідношення називається нерівністю трикутника.

2. Віднімання комплексних чисел

Віднімання визначається як дія, зворотна додаванню. Різницею двох комплексних чисел і називається таке комплексне число z, яке, будучи складеним з дає число , тобто якщо z= - ,якщо

Якщо то з цього визначення легко отримати

(7.4.2)

З рівності (7.4.2) виходить, що геометрично комплексні числа віднімаються як вектори (див. рис. 165).

Безпосередньо з малюнка видно, що . Відзначимо, що

тобто модуль різниці двох комплексних чисел рівний відстані d між крапками, що зображають ці числа на площині.

Тому, наприклад, рівність визначає на комплексній площині множину точок z, що знаходяться на відстані 1 від точки, тобто коло з центром в z₀=2і і радіусом 1.

3. Множення комплексних чисел

Добутком комплексних чисел називається комплексне число, що знаходиться за рівністю (7.4.3)

Звідси, зокрема, слідує найважливіше співвідношення

(7.4.4)

Дійсно, Завдяки співвідношенню (7.4.4) формула (7.4.3) виходить формально шляхом перемножування двочленів і :

Наприклад

Помітимо, що x²+y² - дійсне число.

Множення комплексних чисел володіє переставною, сполучною і розподільною (дистрибутивним) властивостями:

.

В цьому легко переконатися, використовуючи визначення (7.4.3).

Знайдемо добуток комплексних чисел і заданих в тригонометричній формі:

тобто

Ми показали, що при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються.

Це правило розповсюджується на будь-яке скінченне число множників. Зокрема, якщо є множників і всі вони однакові, то

(7.4.5)

Формула (7.4.5) називається Формулою Муавра.

Приклад 7.4.1 Знайти

○ Запишемо спочатку число в тригонометричній формі:

По формулі Муавра маємо

●

3. Ділення комплексних чисел

Ділення визначається як дія, зворотна множенню. Часткою двох комплексних чисел і ≠0 називається комплексне число z яке, будучи помноженим на , дає число , тобто , якщо

Якщо покласти ≠0, z=x+iy, тo з рівності = слідує

Розв’язуючи систему, знайдемо значення х і у:

Таким чином

На практиці частка двох комплексних чисел знаходять шляхом множення чисельника і знаменника на число, спряжене знаменнику («позбавляються від уявного в знаменнику»).

Приклад 7.4.2. Виконати ділення

○ ●

Для тригонометричної форми комплексного числа формула ділення має вигляд:

При діленні комплексних чисел їх модулі, відповідно, діляться, а аргументи, відповідно, віднімаються.