7.2. Формула тейлора

У визначенні функції не мовиться про те, за допомогою яких засобів знаходяться значення по значеннях . В тих випадках, коли функція є формулою вигляду , значення функції знайти легко за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти значення, наприклад, функцій , при будь-яких (допустимих) значеннях аргументу?

Для того, щоб обчислити значення даної функції, її замінюють многочленом ступеня, значення якого завжди і легко обчислювані. Обґрунтовування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

7.2.1. Формула Тейлора для многочлена

Нехай функція є многочлен ступеня :

.

Перетворюваний цей многочлен також в многочлен ступеня щодо різниці, де – довільне число, тобто представимо у вигляді

Для знаходження коефіцієнтів продиференціюємо раз рівність (26.1):

.....................

Підставляючи в отриману рівність і рівність (26.1), маємо:

тобто

тобто

тобто

, тобто

.......................

, тобто .

Підставляючи знайдені значення в рівність (26.1), отримаємо розкладання многочлена - й ступені по ступенях :

(26.2)

Формула (7.2.2) називається формулою Тейлора для многочлена ступеня .

Приклад 7.2.1. Розкласти многочлен по ступенях .

○Тут . Отже

тобто

.●

7.2.2. Формула Тейлора для довільної функції

Розглянемо функцію. Формула Тейлора дозволяє, за певних умов, наближено представити функцію у вигляді моногочлена і дати оцінку погрішності цього приближенния.

Теорема 7.2.1. Якщо функція визначена в декому околі точки і має в ній похідні до n-го порядку включно, то для будь-якого х з цієї околиці знайдеться точка така, що справедлива формула

(7.2.3)

□Формула (7.2.3) називається формулою Тейлора для функції . Цю формулу можна записати у вигляді , де

називають многочленом Тейлора, а

називається залишковим членом формули Тейлора, записаним у формі Лагранжа є похибка наближеної рівності . Таким чином, формула Тейлора дає можливість замінити функцію многочленом з відповідним ступенем точності, рівної значенню залишкового члена .

При одержуємо окремий випадок формули Тейлора – формулу Маклорена:

(7.2.4)

де із знаходиться між 0 і .

При формула Тейлора (7.2.3) має вигляд або , тобто співпадає з формулою Лагранжа кінцевих приростів. Розглянена раніше формула для наближених обчислень (див. « диференціал функції») бути окремим випадком більш точної формули

.■

Приклад 7.2.2. Знайти число з точністю до 0,001.

○ Запишемо формулу Маклорена для функції . Знаходимо похідні цій функції: . Оскільки , то по формулі (26.4) маємо:

.

Для знаходження з точністю 0,001 визначимо з умови, що залишковий член менше 0,001. Оскільки, то . Тому при маємо

.

Отже, одержуємо наближену рівність

тобто

Приведемо розкладання по формулі Маклорена деяких інших елементарних функцій:

,

,

,

●