7.1.7. Асимптоти графіка функції.

Побудова графіка функції значно полегшується, якщо знати його асимптоти. Поняття асимптоти розглядалося при вивченні форми гіперболи (див. з. 68).

Нагадаємо, що асимптотою кривої називається пряма, відстані до якої від точки, що лежить на кривій, прагне нуля при необмеженому видаленні від початку

к оординат цієї точки по кривій (Рис. 156). Рис. 156.

Асимптоти можуть бути вертикальними, похилими і горизонтальними.

Говорять, що пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо , або , або .

Д ійсно, в цьому випадку безпосередньо з малюнка 156 видно, що відстань точки кривої від прямої рівно . Якщо , то . Згідно визначенню асимптоти, пряма є асимптотою кривої . Для відшукання вертикальних асимптот потрібно знайти ті значення х , поблизу яких функція

Рис. 157.

Н априклад, крива має вертикальну асимптоту (див. Рис. 157) , оскільки .

Рівняння похилої асимптоти шукатимемо у вигляді

.

Знайдемо і .

Рис. 158

Нехай – довільна точка кривої (див. Рис. 158). По формулі відстані від точки до прямої знаходимо відстань від точки М до прямої (25.5): .

Умова виконуватиметься лише тоді, коли чисельник дробу прагне нуля, тобто

.

Звідси витікає, що, де нескінченно мала: при . Розділивши обидві частини рівності, на і перейшовши до границі при, одержуємо:

.

Оскільки і, , то

З умови (25.6) знаходимо :

Отже, якщо існує похила асимптота:, то і знаходяться по формулах (25.7) і (25.8).

Вірно і обернене твердження: якщо існують кінцеві границі (25.7) і (25.8), то пряма (25.5) є похилою асимптотою.

Якщо хоча б одна з меж (25.7) або (25.8) не існує або рівний нескінченності, то крива похилої асимптоти не має.

Зокрема, якщо , то . Тому – рівняння горизонтальної асимптоти .

Зауваження: Асимптоти графіка функції при і можуть бути різними. Тому при знаходженні меж (25.7) і (25.8) слід окремо розглядати випадок, коли і коли .

Приклад 7.1.13. Знайти асимптоти графіка функції .

○ Оскільки , то графік функції при похилій асимптоти не має.

При справедливі співвідношення

,

.

Отже, при графік має горизонтальну асимптоту .●

7.1.8. Загальна схема дослідження функції і побудови графіка

Дослідження функції доцільно вести з певної послідовності.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат.

3. Знайти інтервали знакосталості функції (проміжки, на яких або ).

4. З'ясувати, чи є функція парної, непарної або загального вигляду .

5. Знайти асимптоти графіка функції.

6. Знайти інтервали монотонності функції.

7. Знайти екстремуми функції.

8. Знайти інтервали опуклості і точки перегину графіка функції.

На підставі проведеного дослідження побудувати графік функції. Помітимо, що приведена схема дослідження не є обов'язковою. В більш простих випадках достатньо виконати лише декілька операцій, наприклад 1,2,7. Якщо ж графік функції зовсім не зрозумілий і після виконанні всіх восьми операцій, то можна додатково досліджувати функції на періодичність, побудувати додатково декілька точок графіка, виявити інші особливості функції. Іноді доцільно виконання операцій дослідження супроводжувати поступовою побудовою графіка функції.

Приклад 7.1.14. Досліджувати функцію і побудувати її графік.

○ Виконаємо всі вісім операцій запропонованої вище схеми дослідження.

1. Функція не визначена при і . Область її визначення складається з трьох інтервалів , а графік з трьох гілок.

2. Якщо , то . Графік перетинає вісь Оу в точці ; якщо то . Графік перетинає вісь Ох в точці .

3. Функція знакопозитивна в інтервалах і ; знаконегативна – .

4. Функція є не парною, оскільки

.

Отже, графік її симетричний щодо початку координат. Для побудови графіка достатньо досліджувати її при .

5. Прямі і є її вертикальними асимптотами. З'ясуємо наявність похилої асимптоти:

_

( при і при )

Отже, є горизонтальна асимптота, її рівняння . Пряма є асимптотою і при і при .

6. знаходимо інтервали зростання і убування функції. Оскільки

.

то в області визначення, і функція є зростаючої на кожному інтервалі області визначення.

7. досліджуємо функцію на екстремум. Оскільки, то критичними точками є точки і (не існує), але вони не належать області визначення функції. Функція екстремумом не має .

8. Досліджуємо функцію на опуклість. Знаходимо :

Рис. 159.

Друга похідна рівна нулю або не існує в точках . На малюнку 159 представлена схема зміни знаків другої похідної досліджуваної функції.

Точка – точка перегину графіків функції.

Графік опуклий вгору на інтервалах і Рис. 160

опуклий вниз на інтервалах і .

Графік функції зображений на малюнку 160.●

.