4. Вычисление вероятности события с использованием

основных свойств вероятности.

При вычислении вероятности сложного события через вероятности более простых событий используются свойства вероятности.

Если А и В несовместны, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для совместных событий:

Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В).

Для противоположных событий А и В имеет место равенство:

Р(Ā)=1-Р(А).

Если события А и В независимы, то

P(A∩B)= P(A)^.P(B).

Пример 1. Два стрелка, вероятности попадания в цель которых при одном выстреле равны соответственно и , производят по два выстрела. Чему равна вероятность того, что будет хотя бы одно попадание?

Решение. Пусть события А₁ и А₂ состоят в том, что первый стрелок попадает в мишень при первом и при втором выстреле соответственно, и пусть В₁ и В₂ аналогичные события для второго стрелка. Событие, состоящее в том, что не будет ни одного попадания, будет Ā₁Ā₂ . Так как выстрелы независимы, то вероятность этого события будет равна . Событие, состоящее в том, что будет хотя бы одно попадание, является противоположным к рассмотренному выше. Отсюда искомая вероятность будет равна

Пример 2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне n₁ белых шаров, m₁ черных и k₁ красных, а во второй соответственно n₂, m₂ и k₂. Из обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета (cобытие С)?

Решение. Пусть события А₁,А₂,А₃ – из первой урны извлечены соответственно белый, черный и красный шары и события В₁,В₂,В₃ – такие же события для второй урны. Событие С – оба шара одного цвета – будет равно:

С= А₁В₁+А₂В₂+А₃В₃.

Так как события А_к и В_к независимы, а события А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ несовместны, то

Р(С)=Р(А₁)Р(В₁)+Р(А₂)Р(В₂)+Р(А₃)Р(В₃)=

Варианты заданий

1. Вероятность выигрыша в лотерее равна p. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет. Найти вероят-ность того, что он будет участвовать в пятом тираже.

2. Два стрелка, вероятности попадания по мишени которых равны соот-ветственно p₁ и p₂, делают по одному выстрелу по мишени. Найти ве-роятность хотя бы одного попадания.

3. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех неза-висимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления собы-тия в одном испытании.

4. Для каждого прибора вероятность того, что он включен в данный мо-мент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один из трех приборов.

5. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

6. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,6, из второго – 0,8, из третьего – 0,5. Цель будет поражена, если произойдет хотя бы два попадания. Каждое орудие произвело по одному выстрелу по цели. Определить вероятность того, что цель будет поражена.

7. Из трех орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,7. Определить вероятность того, что будет ровно два попадания.

8. Два стрелка, вероятности попадания в цель которых p₁ и p₂ соответст-венно, стреляют по цели поочередно до первого попадания. Найти ве-роятность того, что больше выстрелов сделает начинающий стрелять первым.

9. Определить вероятность появления события в одном опыте, если веро-ятность появления этого события один раз в двух опытах равна 5/18.

10. Вероятность появления события в каждом опыте одинакова и равна 0,4. Опыты производятся до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

11. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются две карты. Определить веро-ятность того, что хотя бы одна карта будет тузом.

12. При передаче текста 10% букв искажаются и принимаются неверно. Какова вероятность того, что все пять букв данного слова будут приняты правильно?

13. Каждая буква слова «математика» написана на отдельной карточке, карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются четыре карточки. Какова вероятность получить слово «тема»?

14. Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет 6 очков. Определить вероятность выигрыша второго игрока.

15. Из трех орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,6. Определить вероятность хотя бы двух попаданий.

16. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три карты. Определить вероят-ность того, что они будут одной и той же масти.

17. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрельба ведется до первого попадания. Найти вероятность того, что будет произведено 5 выстрелов.

18. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три карты. Определить вероят-ность того, что они будут разных мастей.

19. Вероятность появления события А в трех независимых опытах хотя бы один раз равна 0,75. Определить вероятность того, что в двух опытах событие появится оба раза.

20. Девять пассажиров размещаются по трем вагонам. Каждый пассажир выбирает вагон наугад. Какова вероятность того, что в каждый вагон сядет по три пассажира?

21. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

22. Бросают одновременно два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение чисел, которые выпадут, будет четным числом.

23. В урне имеется 6 белых и 4 черных шаров. Два игрока достают после-довательно по одному шару, возвращая каждый извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не вытащит белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинавший игру.

24. Из колоды в 36 карт извлекается одна карта, после чего она воз-вращается назад. Потом из колоды извлекаются две карты. Определить вероятность того, что все три карты будут одной и той же масти.

25. Бросаются два игральных кубика. Пусть n число очков, выпавших на первом из них, а m число очков, выпавших на втором. Найти вероятность события {mod(n,m)=5}.