5. Условная вероятность, формула полной вероятности

и формулы Байеса.

Условной вероятностью Р(А|В) события А при условии, что произошло событие В (Р(В)>0) называется отношение

Из определения условной вероятности получается равенство

,

которое называют теоремой умножения вероятностей.

Если B – произвольное событие, события H₁, H_2, . . ., H_n попарно несов-местны, P(H_k)>0, (k=1,…,n) и H₁ +H₂ + . . . +H_n=  , то имеет место следую-щая формула:

,

которая называется формулой полной вероятности.

Если при этих предположениях P(B)>0, то имеют место формулы

называемые формулами Байеса.

Пример1. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом №1, 30% – заводом №2, 50% – заводом №3. Для завода №1 вероятность вы-пуска бракованной детали равна 0,05, для завода №2 – 0,01, для завода №3 – 0,06. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь ока-жется бракованной?

Решение: Обозначим через B событие: наудачу взятая деталь – бракован-ная., через H₁, H_2, H₃ – деталь, изготовленная соответственно заводом №1, №2, №3. Из условия известны вероятности:

P(H₁)=0.2, P(H₂)=0.3, P(H₁)=0.5 ,

P(B|H₁)=0.05, P(B|H₂)=0.01, P(B|H₃)=0.06.

По формуле полной вероятности находим

P(B)=0.20.05+0.30.01+0.50.06=0.043 .

Пример2. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах – по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана 4-я или 5–я урна, если извлеченный шар оказался белым?

Решение. Обозначим через B событие – выбранный шар белый, H₁ –шар выбран из 1-й , 2-й или 3-й урны, через H₂ –шар выбран из 4-й или 5-й урны. Нужно определить P(H₂|B). Определяем вероятности: P(H₁)=3/5, P(H₂)=2/5, P(B|H₁)=2/5, P(B|H₂)=1/2. По формулам Байеса находим

.

Варианты заданий

1. Завод выпускает за три декады месяца соответственно 20, 30 и 50 % зада-ния, причем вероятности брака соответственно составляют 0,01, 0,012, 0,015. Найти вероятность того, что изделие выпущено в первой декаде, если в нем обнаружен дефект.

2. В трех урнах содержатся шары, причем в первой – a белых и b черных, во второй c белых и d черных, в третьей – только белые. Наугад выбирается урна, затем из нее выбирается шар. Найти вероятность того, что вынутый шар – белый.

3. Из урны, в которой m белых и n черных шаров, потерян один шар. Для того, чтобы определить состав шаров в урне , извлечено два шара, кото-рые оказались белыми. Определить вероятность того, что утерян белый шар.

4. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и две коробки, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартная равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик извлек деталь из наудачу выбранной коробки. Найти вероятность того, что извлечена стан-дартная деталь.

5. В двух ящиках есть радиолампы. В первом содержится 12 ламп, из них одна нестандартная, а во втором – 10, из которых 2 нестандартные. Из первого ящика во второй переложена одна лампа. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной..

6. Вероятность попадания в цель для одного стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Один из стрелков произвел выстрел, но в цель не попал. Определить вероятность того, что это был первый стрелок.

7. В ящике три детали. Все предположения о количестве стандартных среди них равновероятны. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Опреде-лить вероятности всех предположений о количестве стандартных деталей.

8. Среди n билетов m выигрышных. Какова вероятность выиграть для лица, покупающего один билет, если перед этим был куплен только один билет.

9. В одной урне два белых и два черных шара, в другой два белых и три черных. Из наугад выбранной урны извлечен шар, оказавшийся черным. Найти вероятность того, что он извлечен из первой урны.

10. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наудачу вынуты два ша-ра и переложены в другую урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. После этого из второй урны вынули шар, оказавшийся черным. Найти вероятность того, что оба переложенных шара были одного цвета.

11. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного уст-ройства отказали. Вычислить вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,4, 0,3.

12. Среди n лотерейных билетов m выигрышных. Какова вероятность выиг-рать для лица, покупающего один билет, если перед этим было куплено только два билета?

13. Из пяти урн в двух по два белых и одному черному шару, в одной 10 черных шаров, в двух по три белых и одному черному шару. Из наугад выбранной урны извлечен шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

14. Вероятность того, что параметры одного из трех блоков радиостанции выйдут из допусков во время полета самолета равны соответственно 0,1, 0,2, 0,3. Если из поля допусков вышли параметры одного блока, связь не будет установлена с вероятностью 0,25, если двух блоков, то 0,4, если трех, то 0,5. Найти вероятность того, что связь не будет установлена.

15. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором ящике 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем – 10 деталей, из них 6 стандарт-ных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика – стандартная.

16. В первом ящике 20 деталей, из которых 5 бракованных, во втором - 30, из которых 6 бракованных, в третьем – 16 , из которых 4 бракованные. Из на-угад выбранного ящика извлечена деталь. Найти вероятность того, что де-таль взята из второго или третьего ящика, если она оказалась бракован-ной.

17. В ящике 4 детали. Все предположения о количестве стандартных среди них, одинаково вероятны. Определить вероятность того, что наудачу взя-тая деталь оказалась стандартной.

18. В урну, в которой n шаров положили белый шар. Какова вероятность того, что вытащенный наудачу после этого шар будет белым, если все предпо-ложения о первоначальном составе урны равновозможны.

19. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Вытащили два шара. После этого выта-щен еще один шар. Какова вероятность того, что он белый?

20. В одной урне 6 белых и 4 черных шара, во второй 3 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую переложили два шара. После этого из второй урны вытащили два шара, которые оказались разного цвета. Определить вероят-ность того, что и шары, переложенные из первой урны во вторую, были разного цвета.

21. На фабрике, изготовляющей болты, машины А, В, С производят соответст-венно 25, 35 и 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соот-ветственно 5, 4 и 2 %. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он произведен машиной А?

22. На конвейер попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 %, а третий – 0,4 %. С конвейера наугад берут деталь, найти вероятность того, что эта деталь бракованная, если с первого автомата попало 1000, со второго – 2000, а с третьего – 2500 деталей.

23. В институте n студентов, из которых n_k (k= 1, 2, 3, 4, 5) человек учатся k-й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится пятый год?

24. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, утеряно 2 шара. Какова вероятность извлечь после этого наудачу из урны белый шар?

25. Из чисел 1 ,2 ,….,n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m (m>0)?