7. Функция и плотность распределения случайной величины. Числовые характеристики случайных величин, характеристическая функция, распределение функции одной случайной величины.
Функцией распределения случайной величины Fξ(x) называется вероятность P{ξ<x}. Если существует функция fξ(x) такая, что
то она называется плотностью распределения случайной величины. Плот-ность распределения обладает следующими двумя свойствами:
Плотность распределения во всех точках непрерывности равна производной от функции распределения.
Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.
Если случайная величина, имеющая плотность распределения f(x), то математическое ожидание определяется по формуле:
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания, т.е.
При
вычислении дисперсии часто используют
формулу :
Характеристической функцией (t) случайной величины называется
математическое
ожидание функции
:
Если f(x) – плотность распределения случайной величины, то
Плотность распределения случайной величины , где =g() – монотонная функция, определяется формулой
Здесь =g-1() – обратная функция. Если обратная функция g -1(y) неоднозначна, т.е. одному значению y соответствует несколько значений g -1(y): g1(y)-1,…,gn-1(y), то плотность распределения случайной величины определяется формулой:
Пример. Случайная величина имеет плотность распределения
Определить: а) число А ; б) функцию распределения случайной величины ;
в) математическое ожидание и дисперсию ; г) плотность распределения слу-чайной величины = 2.
Решение. а). Число А определим, используя первое свойство плотности распределения. В данном случае, т.к. плотность распределения отлична от нуля только в интервале [-1;2], имеем равенство:
Проинтегрировав, определяем значение А: А=2/7.
б). Функция распределения F(x) и плотность распределения f(x) связаны равенством:
При x -1: F(x)=0; при -1 x 0:
при 0 < x 2:
при x > 2: F(x)=1. Следовательно,
в). Определяем математическое ожидание:
Для определения дисперсии предварительно вычисляем E 2:
Дисперсия случайной величины будет равна :
D=E 2-(E)2=1/2-(4/21)2=409/441.
г) Характеристическая функция случайной величины будет равна:
д) Для определения плотности распределения случайной величины = 2, найдем сначала функцию распределения этой случайной величины. Заметим, что при y0, F(y)=0, так как случайная величина = 2 может принимать только неотрицательное значения. При y>0 имеем:
Продифференцировав F(y), получаем выражение плотности распределения случайной величины через плотность распределения случайной величины :
При
0 < y
1 :
При
1 < y
4 :
При
y
> 4 :
Следовательно,
Варианты заданий.
Ниже записаны выражения для плотности распределения f(x) случайной величины .
Требуется определить:
а) число А; б) функцию распределения F(x) случайной величины ; в) мате-матическое ожидание E и дисперсию D; г) характеристическую функцию (t); д) плотность распределения случайной величины = ().
