8. Распределение функций пары случайных величин.

Функция распределения пары случайных величин опреде-ляется формулой: .

Если существует функция такая, что

,

то она называется плотностью распределения пары случайных величин. В каждой точке непрерывности функции выполняется равенство:

.

Функцию распределения пары случайных величин можно рассматривать как вероятность попадания точки со случайными координатами в область, определяемую неравенствами: .

Вероятность попадания точки с координатами в область D плоскос-ти xOy равна интегралу от плотности распределения по этой области.

Если для всех x и y выполняются равенства F(x,y)=F_(x) F_(y) или f(x,y)=f_(x) f_(y), то случайные величины  и  называются независимыми.

Функция распределения случайной величины =( ,) равна:

где область D определяется неравенством ( ,) < z.

Пример. Случайные величины  и  независимы и  равномерно распреде-лена в интервале [0,1], а  имеет показательное распределение с параметром . Найти плотность распределения случайной величины  =  +

Решение. По условию плотности распределения случайных величин  и  имеют вид:

Так как  и  независимы, то плотность распределения пары ( ,) будет рав-на произведению этих случайных величин:

Функция распределения F_ (z) случайной величины  определяется равенством

где D={(x,y): x+y < z}.

Так как плотность f(x,y) отлична от нуля в области {(x,y): 0xz, y0}, то F_ (z) для различных значений z будет иметь различные выражения. Для z  0 имеем F_ (z)=0. Для 0< z 1 областью интегрирования, которая определят

F_ (z), является заштрихованная область, изображенная на рис.1, а для z > 1  на рис.2.

Рис. 1 Рис. 2

Для 0< z 1 имеем:

Для z > 1 аналогичным образом получим:

Таким образом,

Продифференцировав F_ (z), получаем выражение для плотности распре-деления случайной величины :

Варианты задания

1. Пара случайных величин (,) имеет плотность распределения

Найти плотность распределения случайной величины  =  + .

2. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное распре-деление с параметром . Определить плотность распределения случай-ной величины  /.

3. Случайные величины  и  независимы и имеют плотности распреде-ления:

Найти плотность распределения случайной величины .

4. Случайные величины  и  независимы и нормально распределены с параметрами a=0,  ²=1), вычислить P{² +² <R² }.

5. Пусть  и   независимые случайные величины, имеющие распределе-ние Коши:

Найти плотность распределения случайной величины .

f_ (x) = f_ (x) = .

6. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены в интервале [-1;3]. Найти плотность распределения случайной величи-ны.

7. Случайная двумерная величина ( ,) имеют нормальную совместную плотность распределения Вычислить вероятность события {<|| }.

8. Случайные величины  и  независимы и нормально распределены с параметрами (0,²). Доказать, что отношение  / имеет распределение Коши.

9. Случайные величины  и  ­ независимы и нормально распределены с параметрами (0, ²) . Определить плотность случайной величины -.

10. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены:  в интервале (0,1), а  в интервале (-1,2). Найти плотность распределе-ния случайной величины +.

11. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное рас-пределение:  с параметром 1/2, а  с параметром 1/3. Найти плотность распределения их суммы +.

12. Найти плотность распределения суммы независимых случайных вели-чин, имеющих плотность распределения

.

13. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное распре-деление с параметром . Найти плотность распределения случайной ве-личины 3+2.

14. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены в интервале [-1,3]. Найти плотность распределения их отношения  /.

15. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное распре-деление с параметром . Найти плотность распределения случайной величины  /(+).

16. Случайные величины  и  независимы и имеют нормальное распре-деление с параметрами (0;1) каждая. Доказать, что случайные величи-ны  - и + независимы.

17. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены в интервале [0,1]. Найти функцию распределения случайной величины  /(+).

18. Случайные величины  и  независимы и одинаково распределены с плотностями

Найти плотность распределения случайной величины +.

19. Случайные величины  и  независимы и одинаково распределены с плотностями распределения

Найти плотность распределения частного  /.

20. Случайные величины  и  независимы с плотностью распределения

Найти плотность распределения случайной величины 

21. Случайные величины и  независимы и имеют показательное распре-деление с параметром . Доказать, что случайные величины и   также независимы.

22. Случайные величины  и  независимы и равномерно распределены:  в интервале [-1,3], а  в интервале [0,2]. Найти плотность распределе-ния случайной величины +

23. Случайные величины и  независимы и равномерно распределены:  в интервале [0,4], а в интервале [1,3]. Найти плотность распределения случайной величины 

24. Случайные величины  и  независимы. Величина  имеет показатель-ное распределение с параметром 2, а  равномерно распределена в ин-тервале [1,3]. Найти плотность распределения случайной величины +

25. Случайные величины  и  независимы и имеют показательное распре-деление с параметром 1. Найти плотность распределения случайной ве-личины |-|