Примеры решения задач по механике

1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой  = 10 + 20 t - 2 t². Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_ =  r ; (2)

(3)

где  - угловая скорость тела;  - его угловое ускорение; r - расстояние точки от оси вращения. Подставляя выражения а_ и a_n в формулу (1), находим:

. (4)

Угловая скорость  вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени: . В момент времени t = 4 с угловая скорость  = (20 - 4 ^. 4) с ^-1 = 4 с ^-1. Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени: Это выражение углового ускорения не содержит времени; следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставляя найденные значения  и  и заданное значение r в формулу (4), получим: м/с² = 1,65 м/с².

Направление полного ускорения определится, если найти углы, которые вектор ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней (рис.1):

(5)

(6)

По формулам (2) и (3) найдем значения а_ и a_n:

а_ = - 4 ^. 0,1 м/с² = - 0,4 м/с², a_n = 4^{2 .} 0,1 м/с² = 1,6 м/с².

Подставляя эти значения и значение полного ускорения в формулы (5) и (6):

;

.

Пользуясь тригонометрическими таблицами, найдем значения искомых углов:

2. Мяч брошен со скоростью  ₀ = 10 м/с под углом  = 40⁰ к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадет на землю? Какое время t он будет в движении?

Найдем высоту h, на которую поднимется мяч, брошенный cо скоростью  ₀ под углом  к горизонту. Имеем (рис 2)

_у = ₀ sin  - g t, (1)

S_у = (₀ sin  ) t - g t² l 2 (2)

В верхней точке  ₀ = 0, из (1) получим  ₀ sin  = g t₁; отсюда время подъема мяча t₁ = ( ₀ sin ) / g. Подставляя t₁ в (2), получим

h = S_y = ( ₀² sin² ) / 2 g = 2,1 м.

Найдем дальность полета l мяча. Имеем (рис 2)

_x =  ₀ cos , (3)

S _x= _x t = (₀ cos ) t (4)

Мяч упадет на землю через время t₂ = 2 t₁ = 2( ₀ sin ) / g . Подставляя t₂ в (4), получим l = S_x = ( ₀² sin 2) / g = 10,0 м. Время полета мяча

t₂ = 2t₁ = 2(₀ sin )/g = 1,3 c.

3. Колесо радиусом R = 10,0 см вращается с угловым ускорением

 = 3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость  ; б) линейную скорость ; в) тангенциальное ускорение а_{ ;} г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол  , составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

а) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость  связана с временем t уравнением  = ₀   t. По условию ₀ = 0 и тогда = t, т.е. угловая скорость растет пропорционально времени; при t = 1 с имеем  = 3,14 рад/с.

б) Так как  =  R, то линейная скорость также пропорциональна времени; t = 1 c имеем  = 0,314 м/с.

в) Тангенциальное ускорение a_ =  R не зависит от t, т.е. постоянно во все время движения; при t = 1с имеем a_ = 0,314 м/c².

г) Нормальное ускорение a_n= ² R= ² t² R, т.е. растет пропорционально квадрату времени; при t = 1 с имеем a_n = 0,986 м/с².

д) Полное ускорение растет со временем по закону

при t = 1 с имеем а = 1,03 м/с².

е) Имеем sin  = a_ /a , где  -угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент t = 0 имеем

a = a_ – полное ускорение направлено по касательной. При t =  имеем

a = a_n (так как a_ = const и a_n пропорционально квадрату времени) – полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sin  = a_ / a_n = =0,314 / 1,03 = 0,305 и  = 1746.

4. Какой массы m_x балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом m = 1600 кг, подъемная сила аэростата F = 12,00 кН. Считать силу сопротивления F_сопр воздуха одной и той же при подъеме и при спуске.

На опускающийся аэростат (с балластом) действуют подъемная сила F (вверх), сила сопротивления воздуха F_сопр (вверх) и сила тяжести m g (вниз) . Так как аэростат движется равномерно, то по первому закону Ньютона равнодействующая сила равна нулю:

F + F_conp= m g. (1)

Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься, вместо уравнения (1) будем иметь

F =F_conp + (m - m_x) g; (2)

решая (1) и (2) совместно, получим m_x = 2 (m – F / g) = 800 кг.

5. Автомобиль массой m = 1020 кг, двигаясь равнозамедленно, останавливается через время t = 5,00 с, пройдя путь s = 25,0 м. Найти начальную скорость ₀ автомобиля и силу торможения F.

Задачу можно решить двумя способами.

1). По второму закону Ньютона

F = m a, (1)

где F - сила торможения, m - масса автомобиля, а -его ускорение. Из уравнений кинематики равнопеременного движения получим

a = 2 s / t², (2)

₀ = 2 s / t = 36 км/ч. (3)

Подставляя (2) в (1), имеем

F = 2 s m / t ² = 2,04 кН (4)

2). Используем закон сохранения энергии. Убыль кинетической энергии равна работе силы торможения

m ₀² / 2 = F s. (5)

Но из уравнений кинематики имеем ₀ = 2 s / t. Подставляя (3) в (5), получим, как и раньше, F = 2 s m / t ².

6. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести m g. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.

а) Сила тяги, развиваемая мотором автомобиля, поднимающегося в гору, идет на преодоление силы трения и составляющей силы тяжести, параллельной перемещению: F = F_ТР + m g sin  , причем F_TP = k mg cos . Таким образом, сила тяги F = m g (k cos  + sin ) = 1,37 кН.

б) Для автомобиля, движущегося под гору, сила тяги

F = m g (k cos  – sin ) = 0,59 кН.

Если сила трения меньше составляющей силы тяжести, параллельной перемещению, т.е. если k m g cos  < m g sin , то F < 0. В этом случае, чтобы осуществить равномерное движение автомобиля под гору, необходимо приложить задерживающую силу. При отсутствии этой силы автомобиль будет двигаться под гору с ускорением a = g (sin  - k cos ).

7. На рельсах стоит платформа массой m₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂ = 5т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃ = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия ₀ = 500 м/с. Найти скорость платформы и в первый момент после выстрела, если а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью  =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; в) платформа двигалась со скоростью  = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Согласно закону сохранения импульса

(m₁ + m₂ + m₃)  = m₃ ( +₀ )+ (m₁ + m₂ ) u

(скорость снаряда относительно Земли равна  + ₀). Отсюда

.

Спроецировав векторы на ось х, совпадающей по направлению с вектором ₀, получим

а) , а следовательно и _х, равна нулю; u_x= –12 км/ч. Проекция u на ось х получилась отрицательной. Это означает, что вектора ₀ и u противоположны.

б) _х = ; u_x = 6 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении, но с меньшей скоростью.

в) _х = – ; u_x= – 30 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении с большей скоростью.

8. Шар массой m₁=3 кг движется со скоростью  = 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Первый шар до удара обладал кинетической энергией E₁ = m₁ ² / 2. После удара шары начали двигаться с общей скоростью u = m₁ / (m₁ + m₂). Кинетическая энергия обоих шаров после удара стала E₂ = (m₁ + m₂) u² / 2 = =m₁² ² / 2 (m₁ + m₂). Разность E₁ – E₂ равна количеству теплоты Q, выделившейся при ударе:

Дж.

9. Найти первую космическую скорость ₁, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве ее спутника.

Сила гравитационного взаимодействия между телом и Землей F=GmM/r², где M - масса Земли и r -расстояние тела от центра Земли. У поверхности Земли r равно радиусу Земли R и F = mg. Следовательно,

F = m g= = G m M / R².

При движении тела вокруг Земли по орбите сила гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким образом, F = m ₁² / R;

отсюда первая космическая скорость м/с.

10. Найти линейные ускорения а центров шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости  = 30, начальная скорость всех тел ₀ = 0. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

При скатывании тела с наклонной плоскости его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом,

, (1)

где J - момент инерции тела и m - его масса. Но

h = l sin ,  =  / R. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

(3)

Так как движение тел происходит под действием постоянной силы, то движение тел равноускоренное, поэтому

l = a t² / 2,  = a t . (4)

Решая (3) и (4) совместно, получим

(5)

Подставляя в (5) выражения для момента инерции различных тел, найдем для шара, диска и обруча соответственно

a₁ = 3,50 м/с², а₂ = 3,27 м/с², а₃ = 2,44 м/с².

Для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости без трения, имеем a = g sin  = 4,9 м/с².

11. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ = 10 об/мин. Человек массой m₀ = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека ^_ точечной массой.

На основании закона сохранения момента количества движения имеем

J₁ ₁ = J₂ ₂, (1)

где J₁ - момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю,

J₂ - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре платформы, ₁ и ₂ -угловые скорости платформ в первом и во втором положениях человека. При этом

J₁= m R₂ / 2 + m₀ R₂, J₂ = m R₂ / 2, (2)

где R -радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что  = 2 n, где n - частота вращения платформы, получим

(m R² / 2 + m₀ R²) 2  n₁ = 2 n₂ m R² / 2,

откуда об/мин.

12. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на s = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа А₁, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П₁. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию Т₂ пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию П₂ пули.

Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать

А₁ = П₂ . (1)

Выразим работу А₁. Сила F₁ , сжимающая пружину, является переменной - в каждый данный момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука

F = – k x , (2)

где х - абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на d x выразится формулой

d A = F₁ d x ,

или

d A = k x d x .

Интегрируя в пределах от 0 до s, получим

. (3)

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле

П₂ = m g h , (4)

где g - ускорение свободного падения.

Подставив в (1) А₁ по (3) и П₂ по (4), найдем , откуда

Проверим, дает ли полученная формула единицу измерения жесткости k. Для этого в правую часть формулы (5) вместо величин подставим единицы их измерения

.

Теперь можем подставить в (5) числовые значения и произвести вычисления .