1.12. Дифференциальные уравнения равновесия.

Предыдущие разделы теории напряжений построены на анализе уравнений равновесия элементов сплошной среды. Это были уравнения первого приближения, которое исчерпывает проблему только в мало интересном случае однородного напряженного состояния, при котором напряжения по объему материала постоянны.

Теория упругости предназначена для исследовании неоднородных напряженных состояний,в которых напряжения являются функциями координат. Напряженное состояние тела описывается шестью скалярными функциями, описывающими распределение по объему среды шести компонентов тензора напряжений

_x = _x(x,y,z),

_y = _y(x,y,z), (33)

...

_zx = _zx(x,y,z).

Исследуем ограничения, накладываемые на эти функции условиями равновесия элемента среды.

Рис.1.8. Напряжения, проецирующиеся на ось x.

На рис.1.8. изображен элемент среды в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, на гранях которого показаны только те напряжения, которые проецируются на ось х. Составим уравнения равновесия этого элемента в проекциях на ось x.

• На левую грань действует нормальное напряжение _х, на правую – такое же напряжение с некоторым приращением d_х. Поскольку при переходе от левой грани к правой получает приращение только координата x, дифференциал _х может быть записан в виде

d_х = = .

• на дальнюю грань действует напряжение _xy, а на переднюю

_xy + d_xy = _xy + .;

• на нижнюю грань дйствует напряжение _zx, а на переднюю

_zx + d_zx = _zx + .

Запищем уравнение равновесия. Просуммируем проекции на ось x сил, действующих на грани элемента. Каждая из сил вычисляется как произведение напряжения на площадь соответствующей грани. Добавим проекцию объемной силы, вычисляя ее как произведение проекции плотности объемной силы X на объем элемента dv = dxdydz. Получим:

-_хdydz+(_х+ )dydz -_xy dxdz +(_xy + )dxdz - _zxdxdy +(_zx + )dxdy + Xdxdydz = 0.

После очевидных упрощений, получим

Это и есть дифференциальное уравнение равновесия элемента в проекциях на ось х. Аналогично могут быть получены уравнения равновесия в проекциях на оси y и z. Полностью система дифференциальных уравнений равновесия имеет вид:

(34)

Получим эти уравнения еще раз. Рассмотримм некоторый объем V сплошной среды, ограниченный поверхностью  (рис.1.9), который находится в равновесии под действием поверхностных сил (Sx, Sy, Sz), распределенных по поверхности  и объемных сил (X,Y,Z), распределенных по объему V.

Рис.1.9. Силы, действующие на элемент

поверхности d и элемент объема dV тела.

Уравнение равновесия тела в поекциях на ось x:

(35) Преобразуем второй интеграл. Выразим Sx через напряжения в среде, используя первое уравнение из (6-а),

,

где l, m, n – направляющие косинусы площадки d, а затем преобразуем интеграл поповерхности в интерал по объему:

=

Подставив полученный результат в (35) , получим

(36)

Поскольку в равновесии находится не только все тело объемом V, но и любая его часть, в уравнении (36) в ноль должно обращаться подинтегральное выражение:

Это –первое дифференциальное уравнение из системы (34). Два другие получаются аналогично из уравнений равновесия в проекциях на оси y и z.

1.13. Примеры 2 и 3.

Пример 2. Балка длиной l прямоугольного поперечного сечения, высотой h, шириной b; жестко закреплена на правом конце, а на левом загружена вертикальной силой P. Используя известное из сопротивления материалов решение технической теории изгиба балок, определить поле напряжений в объеме тела и проверить его соответствие дифференциальным уравнениям равновесия.

Расположим начало координат в центре левого сечения. Ось x совместим с осью балки, а оси y и z с главными осями инерции сечения (рис.1.10).

В произвольном сечении балки с координатой х поперечная сила и изгибающий момент составляют

Q = P, M = - P (l - x).

Нормальные и касательные напряжения в соответствии с учетом принятого здесь обозначения осей и правила знаков:

 = = _x (37-a)

 = = _zx , (37-б)

где J_y – момент инерции сечения, а S_z^оч – статический момент отчеченной части сечения относительно оси у.

Остальные компоненты тензора напряжений в соответствии с технической теорией изгиба балок равны нулю:

_y = _z = _xy = _yz = 0, (37-в)

Рис.1.10. К примеру 1.

Проверим уравнения равновесия. По условиям задачи объемные силы отсутствуют: X =Y =Z =0.

Дифференцируя (37-а,б), получим:

Остальные производные, входящие в уравнения равновесия(30) равны нулю. Полученное поле напряжений дифференциальным уравнениям равновесия удовлетворяет.

Пример 3. Та же самая балка загружена только собственным весом. Плотность материала , ускорение свободного падения g. Весовая нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки q = . Поперечная сила и изгибающий момент в сечении х составляют:

Q = q(l-x) = (l-x),

M = 0.5 q(l-x)² = ,

Нормальные и касательные напряжения в поперечном сечении

_x =  = ,

_zx =  = .

Остальные компоненты напряжений как и в предыдущей задаче равны нулю.

Определим ненулевые производные от напряжений, входящие в уравнения равновесия (30):

(38)

Вес материала является объемной силой, направленной вдоль оси z, дв другие проекции объемной силы равны нулю:

X = 0, Y = 0, Z = -g.

Подставляя производные (38) и объемные силы в уравнения (34), убеждемся в том, что два первых уравнения удовлетворяются тождественно, а третье (в проекциях на ось z) принимает вид:

. (39)

В произвольной точке (при произвольном z) это уравнение не выполняется. Проинтегрируем его по z от –h/2 до h/2 (по высоте сечения)

Техническая теория изгиба балок приближенна, ее решения не всегда удовлетворяют более строгим уравнениям теории упругости. В рассматриваемом примере уравнение равновесия в проекциях на ось z удовлетворяется только интегрально, в среднем по высоте сечения.

Замечание. Дифференциальные уравнения равновесия для функций, описывающих напряженное состояние тела, являются необходимыми условиями, но не достаточными. Напряжения должны удовлетворять еще некоторым уравнениям, которые будут получены позже. К анализу этих задач мы еще вернемся.