1.8. Инварианты матрицы напряжений.

Вернемся к соотношениям (9), описывающим преобразование компонентов напряжений при повороте координатных осей. Сложим три первых уравнения. Учитывая свойства матрицы (L) (см. (ПР1-....)), получим: _x1 + _y1 + _z1 = _x + _y + _z : сумма нормальных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках при повороте осей координат остается постоянной.

Комбинации компонентов матрицы, которые не меняются при повороте системы координат называются инвариантами.

Сумма нормальных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках – один из инвариантов матрицы напряжений.

Инвариантов матрицы напряжений бесконечно много, но только три из них являются независимыми, все остальные могут быть представлены как комбинации выбранных основных или главных инвариантов.

В механике деформируемых тел в качестве главных инвариантов напряжений приняты коэффициенты характеристического уравнения (12).

Первый (линейный) инвариант (он был уже представлен выше), второй (квадратичный) и третий (кубический) инварианты в произвольных осях и в главных осях имеют вид:

I1()= А = _x + _y + _z = ₁ + ₂ + ₃,

I2()=В = _x_y +_y_z +_z_x -_xy²-_yz²-_zx² = ₁₂ +₂₃ +₃₁ , (19)

I3()= С = _x_y_z+2_xy_yz_zx–(_x_yz²+_y_zx²+_z_xy²) = _x_y_z.

1.9. Тензоры (второго ранга). Тензор напряжений.

Тензором (2-ого ранга) называется оператор, осуществляющий линейное преобразование одного вектора в другой вектор.

Определим два вектора А и В их проекциями на координатные оси x,y,z:

(А)=(А_x А_y А_z)^T, (20)

(В)=(В_x В_y В_z)^T.

Пусть компоненты вектора В являются линейными функциями компонентов А:

B_x = t_xxA_x + t_xyA_y + t_xzA_z

B_y = t_yxA_x + t_yyA_y + t_yzA_z (21)

B_z = t_zxA_x + t_zyA_y + t_zzA_z

Эти же соотношения могут быть записаны в виде

B_i = , i,j = x,y,z (21-а)

или

B_i = t_ijA_j, i,j=x,y,z (21-б)

(последняя запись подразумевает суммирование по повторяющемуся в правой части равенства и отсутствущему слева индексу j),

или в матричной форме

(В)=(t)(А), (21-м)

где (t) – матрица, составленная из тензора T в той же системе координат:

(t) = (22)

или в векторно-тензорной форме

В = Т А , (21-т)

где А ,В – векторы, Т - тензор, (А),(В),(t) – представления этих структур матрицами компонентов в выбранной системе координат формулами 20,21,22.

Все особенности напряженного состояния в точке тела, описанные в параграфах 1.4 – 1-8 получены как следствие зависимости (6), в соответствии с которой матрица напряжений () линейно преобразует вектор единичной нормали к площадке () в вектор напряжений на этой площадке (S).

Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется тензором напряжений  с матрицей компонентов () (в той или иной системе координат).

1.10. Средние нормальные напряжения. Девиатор напряжений.

Средним нормальным напряжением _О называется среднее арифметическое значение нормальных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках или одна треть первого инварианта тензора напряжений:

_О = . (23)

Тензор, у которого главные напряжения одинаковы и, следовательно, равны среднему нормальному напряжению, называется шаровым тензором. Такой тензор описывает равное всестороннее растяжение (или сжатие, если напряжения отрицательны) – такое напряженное состояние, при котором напряжения на любой площадке равны среднему нормальному.

Шаровой тензор I, у которого среднее значение равно единице, называется единичным тензором; ему соответствует единичная матрица (I):

I = (I) = (24)

В ряде случаев бывает удобно представить произвольный тензор напряжений  в виде суммы двух тензоров, один из которых является шаровым:

 = _О I + D_ (25)

или () = _О (I) + (D_),

где _О - среднее нормальное напряжение тензора .

Тензор D_ называется девиатором напряжений (от английского deviation – отклонение). Он характеризует отклонение напряженного состояния от всестороннего растяжения. Девиатор напряжений – это то, что останется от тензора напряжений, если из него вычесть шаровую часть. Из (19) следует, что компоненты девиатора напряжений образуют матрицу

(D_) = (26)

Первый инвариант девиатора (то есть сумма элементов, стоящих на главной диагонали) по определению равен нулю, а второй выражается через компоненты тензора напряжений формулой:

J2(D)=-1/6[(_X-_Y)²+(_Y-_Z)²+(_Z-_X)² +6(_xy²+_yz²+_zx²)].

Третий инвариант девиатора нам в дальнейшем не понадобится.