1.5. Преобразование компонентов напряжений при повороте осей координат.
Некоторую декартову систему координат x,y,z будем называть исходной. Введем другую, тоже декартову систему координат x1,y1,z1, повернутую относительно исходной заданным образом, которую будем называть новой. Положение новых осей относительно исходных зададим матрицей направляющих косинусов (L):
(L)
=
(7)
Первая строка этой матрицы содержит направляющие косинусы l1, m1, n1 новой оси x1 относительно старых осей x,y,z. Вторая и третья строки содержат аналогичную информацию об осях y1 и z1.
Пусть вектор А задан своим проекциями на оси исходной системы координат: (A)= (Ax,Ay,Az)T. Проецируя Ax,Ay,Az на оси новой системы, получим новые проекции:
Аx1 = Ax*l1 + Ay*m1 +Az*n1
Аy1 = Ax*l2 + Ay*m2 +Az*n2 (8)
Аz1 = Ax*l3 + Ay*m3 +Az*n3 ,
Или в матричной форме:
(А)1=(L)* (А), (8-а)
где (А)1 = (Ax1, Ay1, Az1 )T – вектор А , заданный в новой системе координат.
Формулы (8) описывают преобразование вектора А при повороте системы координат. Получим зависимости, осуществляющие такое же преобразование для компонентов матрицы напряжений. Напряженное состояние в точке сплошной среды в исходной системе координат описывается матрицей напряжений (), компоненты которой представляют собой нормальные и касательные напряжения на площадках, перпендикулярных исходным осям. Найдем матрицу ()1, описывающую то же напряженное состояние в новой системе координат. Компоненты этой матрицы представляют собой нормальные и касательные напряжения на площадках, перпендикулярных новым осям.
Пусть, - вектор нормали к некоторой площадке в рассматриваемой точке среды, а S - вектор напряжений на этой площадке. Эти два вектора связаны соотношением (6), которое имеет вид
(S) = ()(), (6-исх)
в исходной системе координат и
(S)1 = ()1()1 (6-нов)
в новой системе, где (S),()и(матрицы, составленные из компонентов S, и в исходной, а (S)1,()1 и ( - в новой системах координат.
Применим формулы 8-а к компонентам вектора и
()1 = (L) (), (a)
Обращая это соотношение, получим:
() = (L)-1 ()1 (б)
Для вектора S из 8-а имеем:
(S)1 = (L) (S). (в)
Подставляя в (в) сначала (6-и) а затем (б) получим:
(S)1 = (L) (S) = (L) ()()= (L) ()(L)-1 ()1. (г)
Сравнивая (г) с (6-н), получаем:
()1 = (L) () (L)-1. (9-а)
Заметим, что матрица (L)-1 , обратная, содержит направляющие косинусы осей старой системы координат относительно осей новой, то есть те же элементы, что и прямая матрица (L), но иначе расставленные. Нетрудно убедиться в том, что для матрицы поворота обратная матрица равна транспонированной:
(L)-1 = (L)Т.
Тогда формула, описывающая преобразование матрицы напряжений при повороте системы координат примет окончательный вид:
()1 = (L) () (L)Т. (9)
После перемножения входящих в соотношение (9) матриц для компонентов матрицы получаются выражения:
x1
=
y1
=
(9-а)
z1
=
xy1
=
yz1
=
zx1
=
Eсли обозначить через ij компоненты матрицы напряжений в исходных осях, через (ij)1 компоненты матрицы напряжений в повернутых осях, и lij компоненты матрицы поворота (7), то все зависимости (9-а) можно представить одной формулой
,
(9-k)
где i,j,k,l = 1,2,3.