1.3. Напряжения на произвольных площадках. Уравнения равновесия элементарного четырехгранника.

Пусть в некоторой точке О среды известны нормальные и касательные напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, параллельных координатным плоскостям ортогональной системы координат, то есть, задана матрица напряжений (). Определим в той же точке напряжения на произвольной площадке, наклоненной к координатным плоскостям. Положение этой площадки зададим направляющими косинусами ее нормали , которые обозначим l,m,n и сгруппируем в виде матрицы-столбца ()=(l,m,n)^T.

Выделим в окрестности точки элементарный четырехгранник OABC, три грани которого параллельны трем координатным плоскостям, а четвертая площадка ABC наклонена заданным образом (рис.1.5). Неизвестное напряжение S на наклонной грани представлено проекциями на координатные оси S_x, S_y, S_z, а

Рис.1.5. Напряжения на гранях элементарного четырехгранника. (На координатных плоскостях показаны только проекции напряжений на ось х).

Составим уравнения равновесия четырехгранника, в проекциях действующих на него сил на координатные оси. Обозначим площадь наклонной грани ABC через A . Остальные грани являются проекциями грани ABC на координатные оси. Их площади определятся как произведения площади A на соответствующий направляющий косинус нормали :

A_OBC = A*l, A_OCA = A*m, A_OAB = A*n .

Тогда уравнение равновесия в проекциях сил на ось X примет вид:

-_X*A*l - _xy *A*m - _yz*A*n + S_x*A = 0.

Сокращая на А, получим первое из уравнений системы (6-а). Два остальных уравнения получаются из уравнений равновесия четырехгранника в проекциях сил на оси Y и Z.

S_x = _x·l + _xy·m + _zx·n

S_y = _xy·l + _y·m + _yz·n (6–а)

S_z = _zx·l + _yz·m + _z·n

Или сокращенно:

S_j = (_ij · l_i), (6–б)

где i, j = x, y, z.

Или в матричной форме:

(S) = (), (6-в)

где (S) и () – матрицы-столбцы, составленные из компонентов этих векторов:

(S)=(S_x,S_y,S_z)^T, () = (l,m,n)^T.

- симметричная матрица напряжений (4).

Уравнения (6) позволяют определять напряжения на любой произвольно ориентированной площадке в исследуемой точке тела, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках. Следовательно, матрица напряжений, состоящая из компонентов напряжений на площадках, параллельных координатным плоскостям полностью определяет напряженное состояние в точке сплошной среды.

1.4. Эллипсоид напряжений.

Пусть в некоторой точке сплошной среды напряженное состояние описывается матрицей напряжений Займемся анализом соотношений (6), причем воспользуемся записью его в матричной форме 6-с:

(S) = ()(). (6)

В этом соотношении матрица напряжений (совершает линейное преобразование вектора единичной нормали к некоторой площадке  в вектор напряжений на этой площадке S.

Эти векторы изображены на рис.2.6-а. Известно, что при линейном преобразовании эллипсоид преобразуется в другой эллипсоид. Если рассмотреть все площадки, какие можно выделить в точке среды, конец вектора  опишет сферу единичного радиуса (рис.2.6-b), а конец вектора опишет поверхность эллипсоида (рис.2.6-b), который называется эллипсоидом напряжений или эллипсоидом Ламе.

Рис.1.6. Преобразование вектора нормали к площадке в вектор напряжений на этой площадке. Эллипсоид Ламе.