Решение уравнений
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться итерационными методами с заданной точностью.
Итерационные методы
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационными методами состоит в следующем:
отделение корней — отыскание приближенного значения корня (например, графическим методом);
уточнение корней — доведение их значений до заданной степени точности ε.
При использовании метода Ньютона необходимо задаться начальным приближением х0, расположенным достаточно близко к точному значению корня. Итерационный процесс строится по формуле:
(1)
|
|
Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x =Φ(x) и построении итерационной последовательности по формуле:
xi+1 =Φ(xi), i=0,1… |
(2) |
Достаточным условием сходимости рассмотренных итерационных процессов является выполнение неравенства
|
(3) |
на каждом шаге итерации.
until(a, z) возвращает z, пока выражение a не становится отрицательным; а должно содержать дискретный аргумент.
Рис. 2 иллюстрирует использование функции until для реализации метода Ньютона.
Рис. 2 — нахождение корней уравнения методом Ньютона
Решение уравнений средствами MathCad
Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение находится с помощью функции root.
root(f(z), z) |
Возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр. |
Первый аргумент — или функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Второй аргумент — имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение.
Для нахождения корней выражения, имеющего вид
лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.
polyroots(v) |
Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома. |
Пример. Нахождение нулей функции в программе Mathcad
Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение находится с помощью функции root. Данная функция root(f(z), z) возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.
Найти нули функции
на
интервале
,
используя Mathcad.
На
заданном интервале функция три раза
обращается в ноль. Для определения нулей
функции используем встроенную функцию
.
Также необходимо задать начальное
приближение поиска. Точность вычислений
задается встроенной переменной TOL.
По умолчанию её значение равно 0,001.
Задаем начальное приближение
и вычисляем
.
Пример. Нахождение корней полинома в программе Mathcad
В программе Mathcad для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(a) . Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома
Для
уравнения
.