Задания по теме 1 «Решение уравнений»

1. Найдите все корни уравнения с абсолютной погрешностью не хуже 10^-8

2. Найдите корни уравнения с абсолютной погрешностью не хуже 10^-8

4. Найдите корни уравнения

с точностью до 10 знаков после запятой.

5. Найдите корень уравнения на отрезке [0,5] с точностью до 6 значащих цифр:

6. Температура кипения раствора бензола в толуоле (t) зависит от массовой доли бензола следующим образом:

(ω, % –массовая доля бензола в жидкости).

a = 110.9, b = -0.35, c = 0.001, d = -0.00099, e = -2.24

Каков должен быть состав жидкости (доля бензола и толуола), чтобы температура ее кипения была 96.7℃?

7. Зависимость теплоемкости метана от температуры описывается уравнением

С точностью до тысячных долей градуса определите температуру, при которой теплоемкость метана составит 60,1

a = 160.1, b = 0.181, c = -6.02∙10^-5, d = -69.92.

8. Найдите все действительные корни уравнения:

9. Найдите все действительные корни уравнения с абсолютной погрешностью не менее 1∙10^-8

10. Массовая доля бензола в равновесном паре над жидкой смесью (ω, %) бензол-толуол в зависимости от его массовой доли в растворе (x, %) подчиняется уравнению:

a = -3.9∙10^-7, b = 3.9∙10^-4, c = -0.023, d = 2.26, e=0.

При каком составе жидкости содержание бензола в паре составит 80.5%?

Практическая работа №2. Решение нелинейных уравнений в системе Mathcad

Нахождение корней нелинейных уравнений в системе Mathcad

Задача нахождения корней нелинейного уравнения при определении рН водных растворов

Теоретическая часть

Распад электролитов на ионы при растворении их в воде называется электролитической диссоциацией.

Для объяснения особенностей водных растворов электролитов шведским химиком С. Аррениусом в 1887 г. была предложена теория электролитической диссоциации. Основные положения теории следующие:

1. Электролиты при растворении в воде распадаются на ионы – положительные и отрицательные. Ионы находятся в более устойчивых электронных состояниях, чем атомы. Среди таких ионов встречаются простые, например, Na⁺, Mg²⁺, Al³⁺ и сложные, состоящие из нескольких атомов, например, NO₃^-, SO₄^2-, PO₄^3-. В растворе ионы беспорядочно передвигаются в различных направлениях.

2. Под действием электрического тока ионы приобретают направленное движение: положительно заряженные ионы движутся к катоду, отрицательно заряженные – к аноду. Первые называются катионами, а вторые анионами.

3. Диссоциация – обратимый процесс. Одновременно с распадом молекул на ионы протекает обратный процесс – соединения ионов в молекулу.

Поэтому в уравнениях электролитической диссоциации стоит не знак равенства, а знак обратимости ↔. Например, уравнение диссоциации молекулы электролита КА на катион К⁺ и анион А^- записывается в виде

КА К⁺ + А^-

Теория электролитической диссоциации полностью согласуется с атомно-молекулярным учением и теорией строения атома.

Под степенью диссоциации электролита понимается отношение числа диссоциированных на ионы молекул n к общему числу молекул растворенного электролита N, то есть

Если степень диссоциации мала, то раствор является слабым электролитом. В слабых электролитах диссоциация происходит не полностью. В их растворах устанавливается равновесие между недиссоциированными молекулами и продуктами их диссоциации. Поскольку в растворах слабых электролитов процесс диссоциации протекает обратимо, то к нему может быть применен закон действующих масс. Так, для процесса диссоциации уксусной кислоты можно записать

Константа равновесия К_С определяется выражением:

Константу равновесия для процесса диссоциации называют константой диссоциации К_D. Как и любая константа равновесия, константа диссоциации зависит от природы диссоциирующего вещества. С увеличением температуры К_D обычно уменьшается.

В соответствии с принципом Ле Шателье температурная зависимость К_D указывает на то, что процесс диссоциации является экзотермическим, то есть энергия гидратации ионов выше энергии внутримолекулярных связей.

Константа диссоциации указывает на прочность молекул слабых электролитов в данном растворе. Чем меньше константа диссоциации в данном растворителе, тем слабее диссоциирует электролит и тем, следовательно, устойчивее его молекулы.

В случае электролита , диссоциирующего на ионы и , константа и степень диссоциации связаны соотношением, которое называется законом разбавления Оствальда

.

Для слабых электролитов, если принять, что

,

Получаем

.

Отсюда получаем, что

.

Это соотношение показывает, что при разбавлении раствора, а именно при уменьшении концентрации электролита , степень диссоциации электролита возрастает.

Если в растворе электролита степень его диссоциации равна , то концентрации ионов и в растворе одинаковы и составляют

.

Очевидно, что с увеличением силы кислоты константа возрастает.

В растворах многоосновных кислот, а также оснований, содержащих несколько гидроксильных групп, устанавливаются ступенчатые равновесия, отвечающие последовательным стадиям диссоциации. Например, диссоциация ортофосфорной кислоты протекает в три ступени

( )

( )

( ).

Каждой из этих ступеней отвечает определенное значение ступенчатой константы диссоциации. Поскольку , то в наибольшей степени протекает диссоциация по первой ступени. При переходе к каждой последующей ступени степень диссоциации резко уменьшается.

Водородный показатель

Для характеристики кислотности (щелочности) среды введен специальный параметр – водородный показатель или рН. Водородным показателем или рН называют взятый с обратным знаком десятичный логарифм концентрации водородных ионов в растворе:

Водородный показатель определяет характер реакции раствора. Например, при 295К она нейтральна и рН=7 (концентрация ионов водорода равна [Н⁺]=10^–7моль/л). При рН<7 (концентрация ионов водорода [Н⁺] >10^–7моль/л) реакция раствора кислая, при рН>7 (концентрация ионов водорода [Н⁺] <10^–7моль/л) – щелочная. С изменением температуры величина ионного произведения воды К_W изменяется.

Величина рН может служить критерием силы кислоты или основания. В ряду кислот будет сильной та, у которой при одинаковой молярной концентрации активность ионов Н⁺ выше (рН ниже). Для оснований подобная зависимость носит обратный характер.

Таблица