19. Основные идеи теории нечетких множеств. Сравнение обычных и нечетких множеств.

Основная идея базируется на введении понятия нечеткого множ-ва, с которым выполняются логич-е, алгебраические операции. На их основе можно осущ-ть нечеткий лог-ий вывод методами Мамдани, Ларсена, а результат этого лог-го вывода представлен итоговым тоже нечетким множ-вом, которое в результате дефазифицируется и получается четкое значение в качестве ответа.

Л. Заде расширил классич-е канторовское понятие множ-ва, предположив, что характеристич-кая ф-ция (ф-ция принадлежности эл-та множ-ву) м/принимать любые значения в интервале [0;1], а не только 0 или 1. Такие множ-ва наз-ны им нечеткими.

Пусть Е – универс-е множ-во, х-эл-т Е, а R-некоторое свойство. Обычное (четкое) подмнож-во А универс-го множ-ва Е, эл-ты кот-го удовлетворяют св-ву R, опред-ся как множ-во упорядоченных пар А={µ_А(х)/х}, где µ_А(х) – характеристическая ф-ция. µ_А(х)=1, если х удовлетворяет св-ву R, и µ_А(х)=0 -в противном случае. Нечеткое подмнож-во отлич-ся от обычного тем, что для эл-ов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относит-но св-ва R. Поэтому нечеткое подмнож-во А универс-го множ-ва Е опред-ся как множ-во упорядоч-ых пар А={µ_А(х)/х}, где µ_А(х)-ф-ция принадлежности, принимающая значения в некотором упорядоч-м множ-ве М (н-р, М=[0,1]). Ф-ция принадл-ти указ-ет степень принадл-ти эл-та х подмнож-ву А. Множ-во М наз-ся множ-вом принадлежностей. Если М={0,1}, то нечеткое подмнож-во А может рассматр-ся как обычное множ-во.

Теория нечетких множество яв-ся не менее общей матем-й дисциплиной, чем обычная теория множеств, т.к. обычные множества – частный случай нечетких. Обычное подмнож-во можно было бы отождествить с его харак-кой функцией. Этого математики не делают, т.к. для задания функции необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

21. Алгебраические операции над нечеткими множествами.

1) Алгебраическое произведение: А*В для любого х из Х: µ_А*В(х)= µ_А(х)* µ_В(х)

2) Алгебраическая сумма: А+В для любого х из Х: µ_А+В(х)= µ_А(х)+µ_В(х)- µ_А(х)*µ_В(х). Свойства операций аналогичны предыдущим, но условия А* =0 и А+ =Х соблюдаются.

3) Операция концентрации CON(А)=А²

4) Операция растяжения DIL(А)=А^0,5

5) Умножение на число. Если α>0 такое, что α*maxµ_А(х)≤1: µ_αА(х)= α*µ_А(х).

6) Декартово (прямое) произведение нечетких множеств: Пусть А₁, А₂,…, А_n-нечеткие подмнож-ва универсальных множеств E₁, E₂…E_n, соотв-но. Декартово или прямое произв-е А= А₁хА₂х…х А_n яв-ся нечетким подмнож-ом множ-ва Е= Е₁хЕ₂х…хЕ_n с ф-цией принад-ти:

µ_А(х₁, х₂,…х_n)=min(µ_А1(х₁), µ_А2(х₂),…,µ_Аn(х_n))

20. Операции над нечеткими множествами (кроме алгебраических).

1) Нечеткое множ-во А наз-ют нормальным (нормализ-ым), если sup µ_А(х)=1 (не превышает 1, =1 в макс-м случае).

2) Два нечетких множ-ва А и В равны, если для всех х из Х: µ_А(х)= µ_В(х). Операция, проверяющая степень истинности данного уравнения, наз-ся эквиваленцией.

3) Нечеткое множ-во В содерж-ся в нечет-м множ-ве А или иначе В яв-ся подмнож-вом А, если для любого х из Х ф-ция принадлежности множ-ва В не больше ф-ции принад-ти множ-ва А: µ_А(х) ≤ µ_В(х).

4) Объединением (дизъюнкция) наз-ют наименьшее нечеткое множ-во, содержащее как А, так и В, с ф-цией принадлежн-ти: µ_АυВ=max {µ_А(х), µ_В(х)}, х из Х.

5) Пересечением (конъюнкция) наз-ся наиболее нечеткое множ-во, содержащееся как в А, так и в В, с ф-цией принадлеж-ти: µ_АυВ=min {µ_А(х), µ_В(х)}, х из Х.

6) Дополнением нечеткого множ-ва А наз-ют множ-во

, с ф-цией принад-ти: µ (x) = 1 - µ_А(x).

7) Разностью нечетких множ-в А и В наз-ся А-В=А∩ с ф-цией принад-ти: µ_А-В(х)= min(µ_А(х), 1- µ_В(х)).

Объединение нечеткого множества с его отрицанием не дает универсального множества. Пересечение нечеткого множества с его отрицанием не дает пустого множества. Все остальные свойства операций объед-я и пересеч-я похожи на св-ва аналогичных операций над обычными четкими множествами:

1) Коммутативность: А∩В= В∩А, АυВ= ВυА

2) Ассоциативность: (А∩В)∩С=А∩(В∩С),(АυВ)υС=Аυ(ВυС)

3) Идемпотентность: А∩А=А, АυА=А

4) Дистрибутивность: А∩(ВυС)=(А∩В)υ(А∩С),Аυ(В∩С)=(АυВ)∩(АυС)

5) Аυ0=А

6) А∩0=0

7) А∩Х=А

8) АυХ=Х

9) Правила Деморгана :