30. Передача теплоты через плоскую стенку при граничных условиях первого рода в стационарных условиях.

Рис. 1. Однородная плоская стенка

Р ассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис.1.). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( =0) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде: , тогда , а отсюда . Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (1), находим: . После второго интегрирования получаем: t = C₁*x + C_2. Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; при x=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда C₁ = -( t_с1 - t_с2)/δ . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение, получим уравнение распределения температуры по толщине стенки: t = t_с1 –(( t_с1 - t_с2)/δ)*x. Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому: q = -λ* . Учитывая, что dt/dx = C₁ = - ( t_с1 - t_с2)/δ , получим: q = (λ/ δ)* ( t_с1 - t_с2). Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ: Q_τ = (λ/ δ)* ( t_с1 - t_с2)*F*τ . Отношение (λ/ δ) называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину R_λ = (δ/λ) - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку, величина λ зависит от температуры, в уравнения необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

3 1. Теплообмен в плоской стенке при граничных условиях III-го рода в стационарных условиях.

где t_Ж – температура жидкости; α – коэффициент теплоотдачи, [(Вт*м²)/K].

Теплообмен на правой и левой поверхности стенки описывается законом Ньютона-Рихмана: q₁ = α₁*(t_Ж1 – t_C1); q₂ = α₂*(t_C2 – t_Ж2);

Теплообмен внутри стенки: q₃ = λ*( t_C2 – t_C3)/δ. q₁ = q₂ = q₃ = q, тогда разность температур: t_Ж1 – t_C1 = q/α₁; t_C2 – t_Ж2 = q/α₂; t_C1 – t_C2 = (q*δ)/λ.

Складываем: t_Ж1 – t_C1+ t_C2 – t_Ж2 + t_C1 – t_C2 = q/α₁+ q/α₂+(q*δ)/λ, тогда t_Ж1 – t_Ж2 = q/α₁+ q/α₂+(q*δ)/λ,

отсюда q = (t_Ж1 – t_Ж2)/(1/α₁+1/α₂+ δ/λ).

Плотность теплового потока: q = (t_Ж1 – t_Ж2)/(1/α₁+1/α₂+ ∑δ_i/λ_i).

32. Теплопроводность через многослойную стенку при граничных условиях I-го и III-го рода.

Теплопроводность через многослойную стенку при граничных условиях I-го рода.

Р ассмотрим теплопроводность многослойной стенки (рис. 1), состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова. При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же, т. е. = 0.

Теплообмен в каждом слое описывается формулой:

q₁ = λ₁/δ₁∙(t_C1– t_C2); q₂ = λ₂/δ₂∙(t_C2– t_C3);……; q_n = λ_n/δ_n∙(t_Cn– t_C(n+1));

Теплообмен стационарен, значит теплоты одинаковы: q₁ = q₂ = …. = q_n = q.

При заданных температурах внешних поверхностей такой стенки, размерах слоев и, соответственно коэффициентах теплопроводности можно составить систему уравнений для плотности теплового потока каждого из слоев, из которых выразим температурные напоры: t_C1– t_C2= (q* δ₁)/ λ₁; t_C2– t_C3 = (q* δ₂)/ λ₂; …...; t_Cn– t_C(n+1) = (q* δ_n)/ λ_n.

Сложив левые и правые части уравнений, получим: t_C1– t_C(n+1) = q*( δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ +…+ δ_n/λ_n).

Отсюда плотность теплового потока: q = (t_C1– t_C(n+1))/ (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ +…+ δ_n/λ_n).

Величина ∑ δ_i/λ_i, равная сумме тепловых сопротивлений всех n слоев, называется полным тепловым или термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки. Температуры на границе соприкосновения двух соседних слоев равны:t_C2= t_C1 - (q* δ₁)/ λ₁; t_C3 = t_C2 + (q* δ₂)/ λ₂; ………; t_C(n+1) = t_Cn + (q* δ_n)/ λ_n.

Для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет ломаную линию.

Теплопроводность через многослойную стенку при граничных условиях III-го рода.

П ередача тепла от одной жидкой среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде. Пусть плоская однородная стенка имеет толщину δ (рис. 2). Заданы коэффициент теплопроводности λ, температуры окружающей среды t_Ж1 и t_Ж2, а также коэффициенты теплоотдачи α₁и α₂. Будем считать, что t_Ж1, t_Ж2, α₁и α₂ постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры жидкостей и стенки только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной, а также температуры на поверхностях стенки.

Удельный тепловой поток от горячей жидкости к стенке определяется из закона Ньютона-Рихмана уравнением: q = α₁*( t_Ж1 – t_C1). При стационарном тепловом режиме тот же тепловой поток пройдет путем теплопроводности через твердую стенку: q = λ/δ*(t_C1 - t_C2). Этот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи: q = α₂*( t_С2 – t_Ж2). Аналогично решению для многослойной плоской стенки выразим температурные напоры и почленно сложим правые и левые части, тогда: t_Ж1 – t_Ж2 = q*(1/α₁ + δ/λ + 1/α₂). Выразим плотность теплового потока: q = (t_Ж1 – t_Ж2)/(1/α₁ + δ/λ + 1/α₂) = k*(t_Ж1 – t_Ж2), где k = (1/α₁ + δ/λ + 1/α₂) - коэффициент теплопередачи, характеризующий интенсивность передачи тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку, имеет ту же размерность, что и коэффициент теплоотдачи, численно равен количеству тепла, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи и для однослойной стенки запишется как: R =1/k = 1/α₁+ δ/λ+1/α₂. Из этого выражения видно, что полное термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений: R₁ =1/α₁– термического сопротивления теплоотдачи от горячей жидкости к поверхности стенки; R_C = δ/λ – термического сопротивления теплопроводности стенки; R₂ =1/α₂ – термического сопротивления теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости. Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то в случае многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление теплопроводности каждого слоя. Тогда полное термическое сопротивление теплопередачи через многослойную стенку: R =1/k = 1/α₁+ δ₁/λ₁+ δ₂/λ₂+…+ δ_n/λ_n+1/α₂ = 1/α₁ + ∑δ_i/λ_i +1/α₂. Отсюда коэффициент теплопередачи многослойной стенки: k =1/(1/α₁ + ∑δ_i/λ_i +1/α₂). Удельный тепловой поток через многослойную стенку, состоящую из n слоев:

q = (t_Ж1 – t_Ж2)/( 1/α₁ + ∑δ_i/λ_i +1/α₂) = k*(t_Ж1 – t_Ж2). Тепловой поток через поверхность стенки: Q = q*F = k*F*Δt. Температуры поверхностей однородной стенки можно найти как: t_C1 = t_Ж1 – q/α₁; t_C2 = t_Ж1 – q*(1/α₁+ δ/λ) = t_Ж2 + q/α₂. Для многослойной стенки температура на границе соприкосновения двух слоев n и n+ 1 при граничных условиях третьего рода может быть найдена из уравнения: t_C(n+1) = t_Ж1 – q*(1/α₁ + ∑δ_i/λ_i).